Les opérations arithmétiques de base possèdent quelques propriétés.
L'associativité est une propriété d'opérations qui permet de modifier l'ordre des calculs en regroupant des termes à l’aide de parenthèses sans modifier le résultat de l'opération.
Cette propriété s'applique à l'addition et à la multiplication.
Dans les exemples ci-dessous, la priorité des opérations s'applique. Il faut donc toujours faire le calcul entre parenthèses en premier.
Associativité de l'addition||\begin{align}(10+20)+30&=10+(20+30)\\ 30+30&=10+50\\60&=60\end{align}||
Associativité de la multiplication||\begin{align}(10\times20)\times30&=10\times(20\times30)\\ 200\times30&=10\times600\\6\ 000&=6\ 000\end{align}||
La soustraction et la division ne sont pas des opérations associatives.
||\begin{align}(30-20)-10&\overset{?}{=}30-(20-10)\\ 10-10&\overset{?}{=}30-10\\0&\color{#ec0000}{\large\neq}20\end{align}||
||\begin{align}(100\div20)\div5&\overset{?}{=}100\div(20\div5)\\ 5\div5&\overset{?}{=}100\div4\\1&\color{#ec0000}{\large\neq}25\end{align}||
La commutativité est la propriété d'opérations qui permet de modifier l'ordre des termes sans changer le résultat.
Cette propriété s'applique à l'addition et à la multiplication.
Commutativité de l'addition||\begin{align}2+3&=3+2\\5&=5\end{align}||
Commutativité de la multiplication||\begin{align}2\times3&=3\times2\\6&=6\end{align}||
La soustraction et la division ne sont pas des opérations commutatives.
||\begin{align}10-2&\overset{?}{=}2-10\\8&\color{#ec0000}{\large\neq}-8\end{align}||
||\begin{align}10\div2&\overset{?}{=}2\div10\\5&\color{#ec0000}{\large\neq}0{,}2\end{align}||
La distributivité de la multiplication est la propriété d’opérations qui permet de distribuer une multiplication sur une addition ou une soustraction.
La distributivité de la multiplication permet de transformer une multiplication de sommes (ou de différences) en une addition (ou une soustraction) de produits.
La distributivité de la multiplication sur l’addition||\begin{align}\color{#3b87cd}{\boldsymbol{2\ \times}}\ (10\color{#fa7921}+5)&=\color{#3b87cd}{\boldsymbol{2\ \times}}\ 10\color{#fa7921}+\color{#3b87cd}{\boldsymbol{2\ \times}}\ 5\\2\times15&=20+10\\30&=30\end{align}||
La distributivité de la multiplication sur la soustraction||\begin{align}\color{#3b87cd}{\boldsymbol{2\ \times}}\ (10\color{#fa7921}{\large-}5)&=\color{#3b87cd}{\boldsymbol{2\ \times}}\ 10\color{#fa7921}{\large-}\color{#3b87cd}{\boldsymbol{2\ \times}}\ 5\\2\times5&=20-10\\10&=10\end{align}||
La distributivité de la multiplication peut être utile pour effectuer des calculs mentaux. Par exemple, si on veut trouver le produit de |22 \times 13,| on peut réécrire le nombre |13| en la somme |10+3| et y distribuer la multiplication par |22.| La multiplication devient ainsi une somme de |2| multiplications plus faciles à faire.||\begin{align}22 \times 13 &= 22 \times (10+3)\\&=22 \times 10+ 22 \times 3 \\&= 220+66\\&=286\end{align}||
La distributivité de la multiplication se fait uniquement sur l’addition et la soustraction. En effet, on ne peut pas distribuer une multiplication sur une autre multiplication. Voici un exemple qui le prouve.||\begin{align}\color{#3b87cd}{\boldsymbol{2\ \times}}\ (10\color{#fa7921}\times5)&\overset{?}{=}\color{#3b87cd}{\boldsymbol{2\ \times}}\ 10\ \color{#fa7921}\times\ \color{#3b87cd}{\boldsymbol{2\ \times}}\ 5\\2\times50&\overset{?}{=}20\times 10\\100&\color{#ec0000}{\large\neq}200\end{align}||
La distributivité de la division est la propriété d’opérations qui permet de distribuer un même diviseur à chaque terme d’une addition ou d’une soustraction.
La distributivité de la division permet de transformer une division de sommes (ou de différences) en une addition (ou une soustraction) de quotients.
La distributivité de la division sur l’addition||\begin{align}(10\color{#fa7921}+15)\color{#3b87cd}{\boldsymbol{\div5}}&=10\color{#3b87cd}{\boldsymbol{\div5}}\color{#fa7921}+15\color{#3b87cd}{\boldsymbol{\div5}}\\25\div5&=2+3\\5&=5\end{align}||
La distributivité de la division sur la soustraction||\begin{align}(60\color{#fa7921}-15)\color{#3b87cd}{\boldsymbol{\div3}}&=60\color{#3b87cd}{\boldsymbol{\div3}}\color{#fa7921}-15\color{#3b87cd}{\boldsymbol{\div3}}\\45\div3&=20-5\\15&=15\end{align}||
La division est uniquement distributive lorsque l’addition ou la soustraction est le dividende. Elle ne l’est pas si l’addition ou la soustraction est le diviseur. Voici un exemple qui le prouve.||\begin{align}30\div(3+2)&\overset{?}{=}(30\div3)+(30\div2)\\30\div5&\overset{?}{=}10+15\\6&\color{#ec0000}{\large\neq}25\end{align}||
La même propriété s’applique lorsque la division est écrite sous la forme d’une fraction.
L’addition est au numérateur (dividende)||\begin{align}\dfrac{20+30}{5}&=\dfrac{20}{5}+\dfrac{30}{5}\\\dfrac{50}{5}&=4+6\\10&=10\end{align}||
L’addition est au dénominateur (diviseur)||\begin{align}\dfrac{60}{2+3}&\overset{?}{=}\dfrac{60}{2}+\dfrac{60}{3}\\\dfrac{60}{5}&\overset{?}{=}30+20\\12&\color{#ec0000}{\large\neq}50\end{align}||
Comme la distributivité sur les nombres, la distributivité sur les expressions algébriques s'applique à chacun des termes à l'intérieur des parenthèses lorsqu’on effectue une multiplication ou une division d’expressions algébriques.
||\begin{alignat}{20}2(2y+3)&=2&&\times2y&&+2&&\times3\\&=&&\ 4y&&\ +&&\ 6\end{alignat}||
||\begin{align}\boldsymbol{\color{#3b87cd}{-}}(2x+5y-10)&=\boldsymbol{\color{#3b87cd}{-1\,\times}}\,(2x+5y-10)\\&=(\boldsymbol{\color{#3b87cd}{-1\,\times}}\, 2x)+(\boldsymbol{\color{#3b87cd}{-1\,\times}}\, 5y)-(\boldsymbol{\color{#3b87cd}{-1\,\times}}\, 10)\\&=-2x+-5y--10\\&=-2x\ -\ \ 5y\ \, +\ \,10\end{align}||
||\begin{alignat}{20}\dfrac{21a+35}{7} &= \dfrac{21a}{7} &&+ \dfrac{35}{7} \\&=\ \ 3a&&+\ \ 5\end{alignat}||
||\begin{alignat}{20}\dfrac{6(10+b)}{2}&=\dfrac{6\times 10+6\times b}{2}\\&=\dfrac{60+6b}{2}\\&=\dfrac{60}{2}+\dfrac{6b}{2}\\&=\ 30\,+\ 3b\end{alignat}||
L'élément neutre est un nombre qui permet, lorsqu'on fait une opération sur un autre nombre, d'obtenir cet autre nombre.
Pour l'addition et la soustraction, l'élément neutre est |0| alors que pour la multiplication et la division, l'élément neutre est |1.|
L’élément neutre de l’addition||\begin{align}3+0&=3\\ -62+0& =-62\end{align}||
L’élément neutre de la soustraction||\begin{align}5-0&=5\\ -14-0&=-14\end{align}||
L’élément neutre de la multiplication||\begin{align}15\times1&=15\\ \dfrac{2}{3}\times1&=\dfrac{2}{3}\end{align}||
L’élément neutre de la division||\begin{align}8\div1&=8\\ \dfrac{3}{4}\div1&=\dfrac{3}{4}\end{align}||
L’addition et la multiplication sont des opérations commutatives. Ainsi, l’élément neutre peut se retrouver à n’importe quel endroit dans l’addition ou la multiplication.
Au contraire, comme la soustraction et la division ne sont pas des opérations commutatives, l’élément neutre ne fonctionne que dans un sens. Il doit nécessairement être situé à droite de la soustraction ou de la division.
||\begin{align}\boldsymbol{\color{#3b87cd}{10}}-0&=\boldsymbol{\color{#3b87cd}{10}}\\ 0-\boldsymbol{\color{#3b87cd}{10}}&= \boldsymbol{\color{#ec0000}{-10}}\ \text{et non}\ \boldsymbol{\color{#3b87cd}{10}} \end{align}||
||\begin{align}\boldsymbol{\color{#3b87cd}{2}}\div 1&=\boldsymbol{\color{#3b87cd}{2}}\\ 1\div\boldsymbol{\color{#3b87cd}{2}}&= \boldsymbol{\color{#ec0000}{0{,}5}}\ \text{et non}\ \boldsymbol{\color{#3b87cd}{2}} \end{align}||
Lorsqu’on réduit des expressions algébriques, on n’écrit généralement pas les éléments neutres.
Si on obtient |0| comme coefficient pour un terme, on n’écrit pas le terme, puisque |0| est l’élément neutre de l’addition et la soustraction.||\begin{align}5x+2y-2x-3x&=\boldsymbol{\color{#3b87cd}{0x}}+2y\\&=2y\end{align}||
Si on obtient |1| comme coefficient pour un terme, on n’écrit pas le coefficient, puisque |1| est l’élément neutre de la multiplication.||\begin{align}5x+2y-4x&=\boldsymbol{\color{#3b87cd}{1}}x+2y\\&=x+2y\end{align}||
Si on obtient |1| comme dénominateur, on ne l’écrit pas, puisque |1| est l’élément neutre de la division.||\begin{align}\dfrac{6x}{2}&=\dfrac{3x}{\boldsymbol{\color{#3b87cd}{1}}}\\&=3x\end{align}||
||\begin{align}1 + (-1) &= 0\\ -\dfrac{4}{3} + \dfrac{4}{3}&=0\end{align}||
\begin{align}6\times \dfrac{1}{6}&=1\\ \dfrac{2}{5} \times \dfrac{5}{2} &= 1\end{align}
L'élément absorbant est le nombre qui, lorsqu’on lui fait subir une opération avec tous les autres nombres, donne l’élément absorbant.
L'élément absorbant de la multiplication et de la division est |0.|
Si on prend |0| et qu’on le multiplie ou le divise par n’importe quel autre nombre, on obtient toujours |0.|
L’élément absorbant de la multiplication||\begin{align}10 \times 0&=0\\ 3 \times 5 \times 0 \times 2 &= 0\end{align}||
L’élément absorbant de la division||\begin{align}0 \div 14 &= 0\\ 0 \div \dfrac{1}{5}&=0\end{align}||
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La multiplication est une opération commutative. Ainsi, l’élément absorbant peut se retrouver à n’importe quel endroit dans la multiplication.
Au contraire, comme la division n’est pas une opération commutative, l’élément absorbant ne fonctionne que dans un sens. Il doit nécessairement être placé à gauche de la division, étant donné qu’il est impossible de diviser par |0.|||\begin{align}&0\div9= 0\\ &\boldsymbol{\color{#ec0000}{9\div0\rightarrow\ \textbf{Impossible}}}\end{align}||
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L'addition et la soustraction n'ont pas d'élément absorbant.