Lorsqu’on compare des polygones, on peut déterminer s’il s’agit de figures semblables en vérifiant qu’ils possèdent des angles homologues isométriques et des côtés homologues proportionnels. C’est la même chose pour les triangles. Pour prouver la similitude des triangles, il n’est pas nécessaire de connaitre la mesure de tous les côtés et de tous les angles. Il suffit de vérifier que certaines conditions minimales sont respectées. C’est ce qu’on appelle les cas de similitude des triangles.
Les conditions minimales de similitude des triangles permettent de démontrer que des triangles sont semblables en utilisant le moins d'arguments possible.
Il existe 3 cas de similitude dans les triangles. Il existe aussi des cas d’isométrie des triangles. On utilise celui qui est le plus approprié selon les informations fournies dans le problème et on organise la démarche dans un tableau d’affirmations et de justifications.
On peut expliquer pourquoi les conditions minimales sont suffisantes pour affirmer que des triangles sont semblables en s’intéressant à la construction des triangles en question.
Dans l’animation interactive ci-dessous, tu peux sélectionner un des cas de similitude, puis glisser le curseur vers la droite pour avoir des explications sur la construction de triangles semblables.
Des triangles sont semblables si et seulement si leurs côtés homologues sont proportionnels.
La condition CCC (Côté-Côté-Côté) n’implique aucune mesure d’angle. En effet, il suffit de montrer que les 3 rapports entre les côtés homologues sont équivalents pour conclure que les triangles sont semblables.
Démontre que les triangles |ABC| et |EFG| suivants sont semblables.
| Affirmation | Justification | ||
|---|---|---|---|
|
1 |
Les côtés homologues sont proportionnels. ||\dfrac{\text{m}\overline{AB}}{\text{m}\overline{EF}}=\dfrac{\text{m}\overline{AC}}{\text{m}\overline{EG}}=\dfrac{\text{m}\overline{BC}}{\text{m}\overline{FG}}|| |
C |
|\dfrac{\text{m}\overline{AB}}{\text{m}\overline{EF}}=\dfrac{2{,}72}{1{,}36}=2| |
|
C |
|\dfrac{\text{m}\overline{AC}}{\text{m}\overline{EG}}=\dfrac{4{,}8}{2{,}4}=2| |
||
|
C |
|\dfrac{\text{m}\overline{BC}}{\text{m}\overline{FG}}=\dfrac{3{,}96}{1{,}98}=2| |
||
|
2 |
Les triangles |ABC| et |EFG| sont semblables.||\triangle ABC\sim\triangle EFG|| |
Ils respectent la condition minimale CCC : des triangles sont semblables si leurs côtés homologues sont proportionnels. |
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Des triangles sont semblables si et seulement s’ils ont une paire d’angles isométriques compris entre 2 paires de côtés homologues proportionnels.
La condition CAC (Côté-Angle-Côté) implique que la paire d'angles isométriques doit être entre les côtés proportionnels. Autrement dit, l’ordre des lettres (CAC) est important.
Démontre que les triangles |ADC| et |CDB| sur la figure suivante sont semblables.
Avant de remplir le tableau d’affirmations et de justifications, il est important de bien identifier les côtés et les angles homologues. Pour s’aider, on peut placer les triangles |ADC| et |CDB| de la même façon, comme ceci.
Les paires de segments homologues dont les mesures sont connues sont |\color{#3a9a38}{\overline{AD}}| et |\color{#3a9a38}{\overline{CD}},| de même que |\color{#3b87cd}{\overline{CD}}| et |\color{#3b87cd}{\overline{BD}}.|
La paire d’angles homologues connus est |\angle ADC| et |\angle CDB.| De plus, pour chacun des triangles, on doit s’assurer que l’angle connu est bel et bien situé entre les 2 segments donnés.
| Affirmation | Justification | ||
|---|---|---|---|
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1 |
Il y a 2 paires de côtés homologues proportionnels. ||\dfrac{\text{m}\overline{CD}}{\text{m}\overline{AD}}=\dfrac{\text{m}\overline{BD}}{\text{m}\overline{CD}}|| |
C |
|\dfrac{\text{m}\overline{CD}}{\text{m}\overline{AD}}=\dfrac{50}{20}=2{,}5| |
|
C |
|\dfrac{\text{m}\overline{BD}}{\text{m}\overline{CD}}=\dfrac{125}{50}=2{,}5| |
||
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2 |
Les angles homologues |ADC| et |CDB| sont isométriques.||\angle ADC\cong\angle CDB|| |
A |
Par hypothèse. |
|
3 |
Les triangles |ADC| et |CDB| sont semblables.||\triangle ADC\sim\triangle CDB|| |
Ils respectent la condition minimale CAC : des triangles sont semblables s’ils ont une paire d’angles isométriques compris entre 2 paires de côtés proportionnels. |
|
Remarque : La figure présentée dans cet exemple peut faire penser aux relations métriques dans le triangle rectangle. Toutefois, on ne peut pas les utiliser pour trouver des mesures manquantes à moins de prouver d’abord que le triangle |ABC| est rectangle en |C,| ce qui n’est pas indiqué sur la figure.
L'angle choisi doit être formé par les paires de côtés homologues analysés. Si l'angle n'est pas au bon endroit, les 2 triangles ne sont pas nécessairement semblables.
Par exemple, sur l’image ci-dessus, |\angle{JAM}| et |\angle{BON}| ont la même mesure. Par contre, l’angle |JAM| est situé entre le petit côté et le grand côté du triangle, mais ce n’est pas le cas pour l’angle |BON.| Les 2 triangles ne sont donc pas semblables. ||\triangle JAM\color{#ec0000}\not\sim\triangle BON||
Des triangles sont semblables si et seulement s’ils ont 2 paires d’angles homologues isométriques.
Puisque la somme des angles intérieurs d’un triangle est de |180^\circ,| des triangles qui ont 2 paires d'angles homologues isométriques ont nécessairement une 3e paire d'angles isométriques. Cette condition minimale est donc très pratique étant donné qu’on a une étape de moins à faire et que la mesure d’aucun côté n’est nécessaire.
Démontre que les triangles |ABC| et |GFE| suivants sont semblables.
| Affirmation | Justification | ||
|---|---|---|---|
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1 |
Les angles |A| et |G| sont isométriques. ||\angle BAC\cong\angle FGE|| |
A |
Par hypothèse. |
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2 |
Les angles |C| et |E| sont isométriques. ||\angle ACB\cong\angle GEF|| |
A |
Par hypothèse. |
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3 |
Les triangles |ABC| et |GFE| sont semblables. ||\triangle ABC\sim\triangle GFE|| |
Ils respectent la condition minimale AA : des triangles sont semblables s’ils ont 2 paires d’angles homologues isométriques. |
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Après avoir prouvé que des triangles sont semblables, on peut trouver des mesures manquantes sur l’un ou l’autre des triangles, ou compléter une démonstration quelconque. On utilise généralement un tableau d’affirmations et de justifications pour ce type de problème.
Voici 3 exemples où on se sert des conditions minimales pour trouver une mesure manquante.
Il faut d’abord prouver que les triangles sont semblables avec les informations fournies dans le problème avant de calculer des mesures manquantes.
Dans la figure ci-dessous, détermine la mesure du segment |\overline{AS}| sachant qu’il est parallèle au segment |\overline{PT}.|
On ne peut pas utiliser la condition CCC, car il manque la mesure de plusieurs côtés. De plus, on ne connait que la mesure d’un côté du triangle |BAS.| On ne peut donc pas utiliser le cas CAC. Ainsi, on utilise AA.
| Affirmation | Justification | ||
|---|---|---|---|
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1 |
Les angles |ABS| et |TBP| sont isométriques. ||\angle ABS\cong\angle TBP|| |
A |
Il s’agit d’un angle commun aux 2 triangles. |
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2 |
Les angles |BAS| et |BTP| sont isométriques.||\angle BAS\cong\angle BTP|| |
A |
Des parallèles |(\overline{AS}| et |\overline{PT})| coupées par une sécante |(\overline{AB})| forment des angles correspondants isométriques. |
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3 |
Les triangles |ABS| et |TBP| sont semblables.||\triangle ABS\sim\triangle TBP|| |
Ils respectent la condition minimale AA : des triangles sont semblables s’ils ont 2 paires d’angles homologues isométriques. |
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4 |
On calcule la mesure manquante à l’aide d’une proportion. ||\begin{align}\dfrac{\text{m}\overline{AS}}{\text{m}\overline{TP}} &= \dfrac{\text{m}\overline{BS}}{\text{m}\overline{BP}}\\\\ \dfrac{\text{m}\overline{AS}}{1{,}8} &=\dfrac{13{,}5+4{,}5}{4{,}5}\\ \\ \text{m}\overline{AS}&=\dfrac{1{,}8\times 18}{4{,}5}=7{,}2\ \text{m}\end{align}|| |
Dans les triangles semblables, les côtés homologues sont proportionnels. |
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Réponse : Le segment |\overline{AS}| mesure |7{,}2\ \text{m}.|
Remarques :
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Le théorème utilisé pour conclure la démonstration est l’une des relations entre les angles qui peut être utilisée de l’une des 2 façons suivantes.
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Si on sait que des droites coupées par une sécante sont parallèles, alors on conclut que les paires d’angles alternes-internes, alternes externes-externes et correspondants sont isométriques.
-
Au contraire, si on sait que les droites coupées par une sécante forment des paires d’angles alternes-internes, alternes-externes ou correspondants isométriques, alors on conclut que les droites sont parallèles.
C’est le 1er sens qui a été utilisé dans cet exemple.
-
-
On aurait pu résoudre le problème de cet exemple à l’aide du théorème de Thalès, puisqu’il est indiqué dans l’énoncé que les segments |\overline{AS}| et |\overline{PT}| sont parallèles.
Détermine la mesure du segment |\overline{SL}.|
On commence par bien identifier les côtés homologues entre les triangles |BEC| et |SEL.| Pour s’aider, on peut placer les triangles dans la même position, comme ceci.
-
|\color{#3b87cd}{\overline{BE}}| et |\color{#3b87cd}{\overline{SE}}| sont des côtés homologues, car ils sont les plus petits côtés de leur triangle respectif.
-
|\color{#3a9a38}{\overline{CE}}| et |\color{#3a9a38}{\overline{LE}}| sont des côtés homologues, car ils sont les plus grands côtés de leur triangle respectif.
-
|\overline{BC}| et |\overline{SL}| est donc la dernière paire de côtés homologues.
Comme on n’a pas la mesure des 6 côtés (3 paires de côtés), on ne peut pas utiliser la condition minimale CCC pour prouver que les triangles sont semblables. On utilise donc CAC.
| Affirmation | Justification | ||
|---|---|---|---|
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1 |
Il y a 2 paires de côtés homologues proportionnels. |
C |
|\color{#3b87cd}{\dfrac{\text{m}\overline{SE}}{\text{m}\overline{BE}}}=\dfrac{20+7}{15}=1{,}8| |
|
C |
|\color{#3a9a38}{\dfrac{\text{m}\overline{LE}}{\text{m}\overline{CE}}}=\dfrac{21+15}{20}=1{,}8| |
||
|
2 |
Les angles homologues sont isométriques.||\angle BEC\cong\angle SEL|| |
A |
Il s’agit d’un angle commun aux 2 triangles. |
|
3 |
Les triangles |BEC| et |SEL| sont semblables.||\triangle BEC\sim\triangle SEL|| |
Ils respectent la condition minimale CAC : des triangles sont semblables s’ils ont une paire d’angles isométriques compris entre 2 paires de côtés proportionnels. |
|
|
4 |
On calcule la mesure manquante à l’aide d’une proportion. ||\begin{align} \dfrac{\text{m}\overline{LE}}{\text{m}\overline{CE}} &= \dfrac{\text{m}\overline{LS}}{\text{m}\overline{CB}}\\\\ \dfrac{21+15}{20} &=\dfrac{\text{m}\overline{LS}}{17}\\\\ \text{m}\overline{LS}&=\dfrac{17\times 36}{20}=30{,}6\end{align}|| |
Dans les triangles semblables, les côtés homologues sont proportionnels. |
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Réponse : Le segment |\overline{SL}| mesure |30{,}6\ \text{unités}.|
Détermine la mesure des segments |\overline{AC}| et |\overline{AL}| dans la figure suivante sachant que les segments |\overline{CF}| et |\overline{BL}| sont parallèles.
Même si aucune mesure d’angle n’est indiquée sur la figure, on peut quand même prendre la condition minimale AA.
| Affirmation | Justification | ||
|---|---|---|---|
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1 |
Les angles |CAF| et |LAB| sont isométriques.||\angle CAF\cong\angle LAB|| |
A |
Les angles opposés par le sommet sont isométriques. |
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2 |
Les angles |AFC| et |ABL| sont isométriques.||\angle AFC\cong\angle ABL|| |
A |
Des parallèles |(\overline{CF}| et |\overline{BL})| coupées par une sécante |(\overline{BF})| forment des angles alternes-internes isométriques. |
|
3 |
Les triangles |FAC| et |BAL| sont semblables.||\triangle FAC\sim\triangle BAL|| |
Ils respectent la condition minimale AA : des triangles sont semblables s’ils ont 2 paires d’angles homologues isométriques. |
|
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4 |
On calcule la mesure manquante à l’aide d’une proportion. ||\dfrac{\text{m}\overline{FC}}{\text{m}\overline{BL}} = \dfrac{\text{m}\overline{AC}}{\text{m}\overline{AL}}|| |
Dans les triangles semblables, les côtés homologues sont proportionnels. |
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Réponse : Le segment |\overline{AC}| mesure |4{,}5\ \text{cm}| et le segment |\overline{AL}| mesure |10{,}5-4{,}5=6\ \text{cm}.|
Voici un exemple de problème où on se sert des conditions minimales pour compléter une démonstration.
Prouve que les segments |\overline{GZ}| et |\overline{JM}| sont parallèles.
| Affirmation | Justification | ||
|---|---|---|---|
|
1 |
Les côtés homologues sont proportionnels. ||\dfrac{\text{m}\overline{AJ}}{\text{m}\overline{AG}}=\dfrac{\text{m}\overline{AM}}{\text{m}\overline{AZ}}=\dfrac{\text{m}\overline{JM}}{\text{m}\overline{GZ}}|| |
C |
|\dfrac{\text{m}\overline{AJ}}{\text{m}\overline{AG}}=\dfrac{45+18}{45}=1{,}4| |
|
C |
|\dfrac{\text{m}\overline{AM}}{\text{m}\overline{AZ}}=\dfrac{30+12}{30}=1{,}4| |
||
|
C |
|\dfrac{\text{m}\overline{JM}}{\text{m}\overline{GZ}}=\dfrac{32{,}2}{23}=1{,}4| |
||
|
2 |
Les triangles |GAZ| et |JAM| sont semblables.||\triangle GAZ\sim\triangle JAM|| |
Ils respectent la condition minimale CCC : des triangles sont semblables si leurs côtés homologues sont proportionnels. |
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|
3 |
Les angles |AGZ| et |AJM| sont isométriques.||\angle AGZ\cong\angle AJM|| |
Dans les triangles semblables, les angles homologues sont isométriques. |
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4 |
Les segments |\overline{GZ}| et |\overline{JM}| sont parallèles. |
Si 2 droites |(\overline{GZ}| et |\overline{JM})| coupées par une sécante |(\overline{AJ})| forment des angles correspondants isométriques |(\angle AGZ| et |\angle AJM),| alors ces droites sont parallèles. |
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Remarques :
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On aurait aussi pu utiliser le cas de similitude CAC pour ce problème.
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On aurait pu résoudre le problème de l’exemple à l’aide du théorème de Thalès.
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On a utilisé à nouveau une des relations entre les angles afin de compléter la démonstration. Cette fois-ci, on s’en est servi pour prouver le parallélisme des droites en sachant que les angles correspondants étaient isométriques et non le contraire.
Pour valider ta compréhension à propos des démonstrations de façon interactive, consulte la MiniRécup suivante.
