La droite de Mayer

1. Ordonner les coordonnées selon la variable indépendante.

2. Séparer la distribution en 2 groupes égaux, si possible.

3. Calculer les points moyens de chaque groupe |(P_1| et |P_2).|

4. Trouver la règle de la droite de régression passant par les points |P_1| et |P_2.|

5. Prédire des valeurs à l’aide de la règle de la droite.

À la suite d’une enquête réalisée auprès de |16| familles québécoises, on s'est intéressé aux dépenses totales liées aux sports et aux loisirs en fonction de leur revenu familial.

La table de valeurs ci-dessous présente les données recueillies. Ces données ont ensuite été placées dans un plan cartésien pour former un nuage de points.

a) Une famille a un revenu familial annuel de |250\ 000\ \$.| Si cette famille suit la même tendance que les autres familles québécoises interrogées, à quel montant son budget consacré aux sports et aux loisirs s'élève-t-il?

b) Une famille dépense en moyenne |7\ 500\ \$| par année pour les sports et les loisirs. À combien son revenu familial annuel s’élève-t-il si elle suit les habitudes d’une famille québécoise typique?

1. Ordonner les coordonnées selon la variable indépendante

2. Séparer la distribution en 2 groupes égaux

La distribution comprend |16| couples de données. Les |8| couples dont le revenu familial va de |20\ 000| à |80\ 000\ \$| par année constituent le 1^er groupe. Les |8| autres couples forment le 2^e groupe.

3. Calculer les points moyens de chaque groupe |\boldsymbol{(P_1}| et |\boldsymbol{P_2)}|

Il suffit de trouver la moyenne en |x| et en |y| de chacun des groupes afin de former 2 points.

4. Trouver la règle de la droite de régression passant par les points |\boldsymbol{P_1}| et |\boldsymbol{P_2}|

Comme il s’agit d’une droite, la règle est de la forme |y=ax+b.| On commence par calculer la pente |(a).| ||\begin{align}a&=\dfrac{\overline{y}_2-\overline{y}_1}{\overline{x}_2-\overline{x}_1}\\&=\dfrac{8\ 625-3\ 812{,}5}{123\ 125-53\ 750}\\&\approx 0{,}07\end{align}||Ensuite, on remplace |a| par |0{,}07| et les variables |x| et |y| par les coordonnées d’un des 2 points, puis on isole |b.| ||\begin{align} y &= ax+b \\ y &= 0{,}07x+b \\ 8\ 625 &= 0{,}07(123\ 125)+b \\ 8\ 625 &\approx 8\ 619+b \\ 6 &\approx b \end{align}||Ainsi, la règle de la droite de Mayer est |y=0{,}07x+6,| où |x| est le revenu familial et |y,| le budget consacré aux sports et aux loisirs, tous les 2 en |\$| par année. On peut tracer cette droite dans le graphique.

5. Prédire des valeurs à l’aide de la règle de la droite

a) Une famille a un revenu familial annuel de |\boldsymbol{250\ 000\ \$.}| Si cette famille suit la même tendance que les autres familles québécoises interrogées, à quel montant son budget consacré aux sports et aux loisirs s'élève-t-il?

On peut faire une estimation des dépenses de cette famille en sports et en loisirs à l’aide de la droite de régression. Il s’agit d’une extrapolation, car le revenu familial en question |(250\ 000\ \$)| est en dehors de l’intervalle étudié |(20\ 000| à |150\ 000\ \$).| 

On remplace la variable |x| par |250\ 000| dans la règle de la droite de régression et on complète le calcul. ||\begin{align}y&=0{,}07x+6\\y&=0{,}07(250\ 000)+6\\y&=17\ 500+6\\y&=17\ 506\ \$ \end{align}||Réponse : Si une famille ayant un revenu annuel de |250\ 000\ \$| suit la même tendance que les autres familles québécoises interrogées, elle devrait consacrer environ |17\ 506\ \$| aux sports et aux loisirs.
 

b) Une famille dépense en moyenne |\boldsymbol{7\ 500\ \$}| par année pour les sports et les loisirs. À combien son revenu familial annuel s’élève-t-il si elle suit les habitudes d’une famille québécoise typique?

On peut estimer le revenu annuel de cette famille à l’aide de la droite de régression. Il s’agit d’une interpolation, car le budget annuel consacré aux loisirs et aux sports |(7\ 500\ \$)| est à l’intérieur de l’intervalle étudié |(500| à |13\ 000\ \$).|

On remplace |y| par |7\ 500| et on isole |x.| ||\begin{align} y &= 0{,}07x+6 \\ 7\ 500 &= 0{,}07x+6 \\ 7\ 500\boldsymbol{\color{#ec0000}{-6}} &= 0{,}07x+6 \boldsymbol{\color{#ec0000}{-6}} \\ \dfrac{7\ 494}{\boldsymbol{\color{#ec0000}{0{,}07}}} &= \dfrac{0{,}07x}{\boldsymbol{\color{#ec0000}{0{,}07}}} \\ 107\ 057\ \$ &\approx x \end{align}||Réponse : Si une famille dépense en moyenne |7\ 500\ \$| par année pour les sports et les loisirs, on peut s’attendre à ce que son revenu familial annuel soit d’environ |107\ 057\ \$.|
 

Remarque : Le même problème a été résolu dans les fiches portant sur la droite de régression et sur la droite médiane-médiane. Chaque fois, on obtient des résultats comparables.

Lorsqu’il faut ordonner les points

• On ordonne les points selon leur abscisse. Il ne faut pas ordonner les abscisses et les ordonnées séparément.

• Si 2 points ont le même abscisse, mais des ordonnées différentes, alors celui avec la plus petite ordonnée est placé en premier.

Exemple :

Lorsqu’il faut séparer les points en 2 groupes

• Si le nombre de points se divise par 2, les groupes sont égaux.
  Par exemple, 16 = 8 + 8.

• Si le nombre de points ne se divise pas par 2, on peut choisir d’ignorer le couple du milieu ou de l’inclure dans un des 2 groupes, au choix.
  Par exemple, 29 = 15 + 14 ou  14 + 15 ou 14 + 14 + une donnée qu’on laisse de côté.

Lors d’une saison de hockey, les points marqués par tous les joueurs sont comptabilisés. Les points d’un joueur comprennent les passes décisives (assist en anglais) et les buts. Au hockey, on compte jusqu’à 2 passes décisives par but marqué, soit les 2 dernières passes effectuées juste avant le but.

Voici le nombre de passes décisives et de points de 10 attaquants réguliers des Bruins de Boston lors de la saison 2022-2023 de la LNH.

Si on se fie aux données de cette équipe, un joueur qui aurait fait |60| passes décisives aurait dû terminer la saison avec combien de points?

La méthode de Mayer se base sur le calcul de la moyenne. Or, la moyenne est une mesure de tendance centrale qui est très influencée par les données éloignées, aussi appelées données aberrantes. Au contraire, la méthode médiane-médiane n’est pas influencée par les données aberrantes.

Autrement dit, lorsqu’il y a une ou des données éloignées dans une distribution, les prédictions faites à l’aide de la droite de Mayer sont moins fiables, c’est-à-dire moins représentatives de l’ensemble des données que celles effectuées à l’aide de la droite médiane-médiane. C’est donc cette dernière méthode qu’il faut privilégier dans de telles situations.