La droite médiane-médiane

1. Ordonner les coordonnées selon la variable indépendante.

2. Séparer la distribution en 3 groupes égaux, si possible.

3. Calculer les points médians de chaque groupe |(M_1, M_2| et |M_3).|

4. Calculer le point moyen |P,| dont les coordonnées sont la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées des points médians.

5. Déterminer le taux de variation |(a)| de la droite passant par |M_1| et |M_3.|

6. Déterminer l’ordonnée à l’origine |(b)| de la droite passant par |P| et dont le taux de variation est |a.|

7. Prédire des valeurs à l’aide de la règle de la droite.

À la suite d’une enquête réalisée auprès de |16| familles québécoises, on s'est intéressé aux dépenses totales liées aux sports et aux loisirs en fonction de leur revenu familial.

La table de valeurs ci-dessous présente les données recueillies. Ces données ont ensuite été placées dans un plan cartésien pour former un nuage de points.

a) Une famille a un revenu familial annuel de |250\ 000\ \$.| Si cette famille suit la même tendance que les autres familles québécoises interrogées, à quel montant son budget consacré aux sports et aux loisirs s'élève-t-il?

b) Une famille dépense en moyenne |7\ 500\ \$| par année pour les sports et les loisirs. À combien son revenu familial annuel s’élève-t-il si elle suit les habitudes d’une famille québécoise typique?

1. Ordonner les coordonnées selon la variable indépendante

2. Séparer la distribution en 3 groupes égaux, si possible

Puisque le nombre de données |(16)| n'est pas divisible par |3,| il faut séparer les groupes de sorte que les 1^er et 3^e​ groupes aient le même nombre de données. Les 1^er et 3^e groupes ont donc |5| couples de données chacun et le 2^e en a |6.|

3. Calculer les points médians de chaque groupe |\boldsymbol{(M_1, M_2}| et |\boldsymbol{M_3)}|

Il suffit de trouver la médiane en |x| et en |y| de chacun des groupes afin de former 3 points.

Attention! Pour ce qui est des |y,| il ne faut pas nécessairement prendre celui qui est lié au |x| médian. Il faut bien choisir la valeur médiane des |y.|

4. Calculer le point moyen |\boldsymbol{P},| dont les coordonnées sont la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées des points |\boldsymbol{M_1, M_2}| et |\boldsymbol{M_3}|

||\begin{align}&P\left(\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3},\dfrac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)\\ &P\left(\dfrac{40\ 000+85\ 000+140\ 000}{3},\dfrac{2\ 000+7\ 000+9\ 000}{3}\right)\\ &P\ \left(88\ 333{,}\overline{3};6\ 000\right)\end{align}||

5. Déterminer le taux de variation |\boldsymbol{(a)}| de la droite passant par |\boldsymbol{M_1}| et |\boldsymbol{M_3}| ||\begin{align}a&=\dfrac{y_3-y_1}{x_3-x_1}\\&=\dfrac{9\ 000-2\ 000}{140\ 000-40\ 000}\\&=0{,}07\end{align}||

6. Déterminer l’ordonnée à l’origine |\boldsymbol{(b)}| de la droite passant par |\boldsymbol{P}| et dont le taux de variation est |\boldsymbol{a}| ||\begin{align}y&=ax+b\\ y&=0{,}07x+b\\ 6\ 000&=0{,}07(88\ 333{,}\overline{3})+b\\6\ 000&\approx 6\ 183+b\\-183&\approx b\end{align}||

Ainsi, la règle de la droite médiane-médiane est |y=0{,}07x-183,| où |x| est le revenu familial et |y,| le budget consacré aux sports et aux loisirs, tous les 2 en |\$| par année. On peut tracer cette droite dans le graphique.

7. Prédire des valeurs à l’aide de la règle de la droite

a) Une famille a un revenu familial annuel de |\boldsymbol{250\ 000\ \$.}| Si cette famille suit la même tendance que les autres familles québécoises interrogées, à quel montant son budget consacré aux sports et aux loisirs s'élève-t-il?

On peut faire une estimation des dépenses de cette famille en sports et en loisirs à l’aide de la droite de régression. Il s’agit d’une extrapolation, car le revenu familial en question |(250\ 000\ \$)| est en dehors de l’intervalle étudié |(20\ 000| à |150\ 000\ \$).| 

On remplace la variable |x| par |250\ 000| dans la règle de la droite de régression et on complète le calcul. ||\begin{align}y&=0{,}07x-183\\y&=0{,}07(250\ 000)-183\\y&=17\ 500-183\\y&=17\ 317\ \$ \end{align}||

Réponse : Si une famille ayant un revenu annuel de |250\ 000\ \$| suit la même tendance que les autres familles québécoises interrogées, elle devrait consacrer environ |17\ 317\ \$| aux sports et aux loisirs.
 

b) Une famille dépense en moyenne |\boldsymbol{7\ 500\ \$}| par année pour les sports et les loisirs. À combien son revenu familial annuel s’élève-t-il si elle suit les habitudes d’une famille québécoise typique?

On peut estimer le revenu annuel de cette famille à l’aide de la droite de régression. Il s’agit d’une interpolation, car le budget annuel consacré aux loisirs et aux sports |(7\ 500\ \$)| est à l’intérieur de l’intervalle étudié |(500| à |13\ 000\ \$).|

On remplace |y| par |7\ 500| et on isole |x.| ||\begin{align} y &= 0{,}07x-183 \\ 7\ 500 &= 0{,}07x-183 \\ 7\ 500\boldsymbol{\color{#ec0000}{+183}} &= 0{,}07x-183\boldsymbol{\color{#ec0000}{+183}} \\ \dfrac{7\ 683}{\boldsymbol{\color{#ec0000}{0{,}07}}} &= \dfrac{0{,}07x}{\boldsymbol{\color{#ec0000}{0{,}07}}} \\ 109\ 757\ \$ &\approx x \end{align}||

Réponse : Si une famille dépense en moyenne |7\ 500\ \$| par année pour les sports et les loisirs, on peut s’attendre à ce que son revenu familial annuel soit d’environ |109\ 757\ \$.|
 

Remarque : Le même problème a été résolu dans les fiches portant sur la droite de régression et sur la droite de Mayer. Chaque fois, on obtient des résultats comparables.

Lorsqu’il faut ordonner les points

• On ordonne les points selon leur abscisse. Il ne faut pas ordonner les abscisses et les ordonnées séparément.

• Si 2 points ont la même abscisse, mais des ordonnées différentes, alors celui avec la plus petite ordonnée est placé en premier.

Exemple :

Lorsqu’il faut séparer les points en 3 groupes

• Si le nombre de points se divise par 3, les groupes sont égaux.
  Par exemple, |18 = 6 + 6 + 6.|

• Si le nombre de points ne se divise pas par 3, il faut s’assurer que le 1^er et le 3^e groupe soient de la même taille et que la taille des 3 groupes soit le plus égal possible. Voici 2 exemples.

  • |29 = 10 + 9 + 10| et non |9 + 11 + 9|

  • |25 = 8 + 9 + 8| et non |9 + 7 + 9|

Lorsqu’il faut calculer les points médians

• Comme les points sont déjà placés en ordre selon les |x,| il suffit de sélectionner la médiane en |x| de chaque groupe.

• Pour ce qui est des valeurs de |y,| il ne faut pas nécessairement prendre celle qui forme un couple avec le |x| choisi. Il faut bien choisir la médiane en |y| de chaque groupe.

Exemple :

• Dans le 1^er groupe, il y a un nombre impair de points. L’abscisse médiane est |2.| Comme les ordonnées de ce groupe sont |5,| |7| et |8,| l’ordonnée médiane de ce groupe est |\boldsymbol{7}| et non |8.| Ainsi, le point |M_1| a comme coordonnées |(2,7)| même si le point |(2,7)| ne fait pas partie du nuage de points.

• Dans le 2^e groupe, il y a un nombre pair de données.||\begin{align} x_2 &= \dfrac{5+6}{2}=5{,}5 \\ y_2 &=\dfrac{10+10}{2}=10 \end{align}||Ainsi, le point |M_2| est |(5{,}5; 10).|

• Dans le 3^e groupe, |x_3=8| et |y_3=\boldsymbol{16}| et non |14.| Ainsi, le point |M_3| est |(8, 16).|

Lors d’une saison de hockey, les points marqués par tous les joueurs sont comptabilisés. Les points d’un joueur comprennent les passes décisives (assist en anglais) et les buts. Au hockey, on compte jusqu’à 2 passes décisives par but marqué, soit les 2 dernières passes effectuées juste avant le but.

Voici le nombre de passes décisives et de points de 10 attaquants réguliers des Bruins de Boston lors de la saison 2022-2023 de la LNH.

Si on se fie aux données de cette équipe, un joueur qui aurait fait |60| passes décisives aurait dû terminer la saison avec combien de points?