Pour trouver la règle d’une fonction rationnelle, il faut toujours utiliser l’équation sous la forme canonique simplifiée, c'est-à-dire |f(x)=\dfrac{a}{x-h}+k.|
On peut exprimer la règle d’une fonction rationnelle avec seulement 3 paramètres. En effet, on peut transformer la règle de la fonction rationnelle de la façon suivante. ||\begin{align} f(x) &= \dfrac{\color{#ec0000}a}{\color{#efc807}b(x - h)} + k \\ f(x) &= \dfrac{\frac{\color{#ec0000}a}{\color{#efc807}b}}{x - h} + k \\ f(x) &= \dfrac{\color{#fa7921}{\text{a}}}{x - h} + k\qquad\text{où}\ \color{#fa7921}{\text{a}}=\dfrac{\color{#ec0000}a}{\color{#efc807}b}\end{align}||Dans la dernière forme, le |\text{a}| correspond à une combinaison des paramètres |a| et |b.| On comprend que c’est cette dernière forme qu’il faut utiliser pour trouver la règle d’une fonction rationnelle, car il suffit de trouver la valeur de 3 paramètres au lieu de 4.
On trouve la règle d’une fonction rationnelle en suivant ces 4 étapes.
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Déterminer la valeur de |h| grâce à l’asymptote verticale.
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Déterminer la valeur de |k| grâce à l’asymptote horizontale.
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Substituer dans la règle les valeurs de |h| et |k| ainsi que les coordonnées d'un point |(x,y)| de la courbe.
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Isoler |a.|
Détermine la règle de la fonction rationnelle suivante.
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Déterminer la valeur de |h| grâce à l’asymptote verticale
La règle de l’asymptote verticale est |\color{#333fb1}{x=-10},| donc |\color{#333fb1}{h=-10}.| -
Déterminer la valeur de |k| grâce à l’asymptote horizontale
La règle de l’asymptote horizontale est |\color{#3a9a38}{y=40},| donc |\color{#3a9a38}{k=40}.| -
Substituer dans la règle les valeurs de |h| et |k| ainsi que les coordonnées d'un point |(x,y)| de la courbe ||\begin{align} f(x) &= \dfrac{a}{x - \color{#333fb1}h} + \color{#3a9a38}k \\ \color{#560fa5}{f(x)} &= \dfrac{a}{\color{#560fa5}x - \color{#333fb1}{-10}} + \color{#3a9a38}{40} \\ \color{#560fa5}{30} &= \dfrac{a}{\color{#560fa5}{15}+10} + 40 \end{align}||
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Isoler |a| ||\begin{align} 30 &= \dfrac{a}{25}+40 \\ 30 \color{#ec0000}{-40} &= \dfrac{a}{25}+40 \color{#ec0000}{-40} \\ -10 &=\dfrac{a}{25} \\ -10 \color{#ec0000}{\times 25} &=\dfrac{a}{25} \color{#ec0000}{\times 25} \\ -250 &= a \end{align}||
Réponse : La règle de la fonction rationnelle représentée dans le graphique est |f(x)=\dfrac{-250}{x+10}+40.|
Si les équations des asymptotes ne sont pas connues, mais que le point d’intersection des 2 asymptotes l’est, on est en mesure de faire les 2 premières étapes en même temps. En effet, les coordonnées du point de rencontre des asymptotes sont |(h,k).|
Trouve la règle de la fonction rationnelle qui possède les caractéristiques suivantes :
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Les coordonnées du point de rencontre des asymptotes sont |(5, -3).|
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La courbe passe par le point |(7, -2).|
Puisqu’on a les coordonnées du point de rencontre des asymptotes, on peut faire les étapes 1 et 2 en même temps.
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Déterminer la valeur de |h| grâce à l’asymptote verticale
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Déterminer la valeur de |k| grâce à l’asymptote horizontale
Le point d’intersection des asymptotes donne la règle de chacune des asymptotes. ||(\color{#333fb1}5,\color{#3a9a38}{-3})\ \Leftrightarrow\ \begin{cases} \color{#333fb1}{x = 5} \\ \color{#3a9a38}{y = -3} \end{cases}||Les valeurs des asymptotes correspondent aux valeurs des paramètres |h| et |k| de l’équation, donc |\color{#333fb1}{h=5}| et |\color{#3a9a38}{k=-3}.|
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Substituer dans la règle les valeurs de |h| et |k| ainsi que les coordonnées d'un point |(x,y)| de la courbe ||\begin{align} f(x) &= \dfrac{a}{x - \color{#333fb1}h} + \color{#3a9a38}k \\ \color{#560fa5}{f(x)} &= \dfrac{a}{\color{#560fa5}x - \color{#333fb1}5} + \color{#3a9a38}{-3} \\ \color{#560fa5}{-2} &= \dfrac{a}{\color{#560fa5}{7}-5}-3\end{align}||
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Isoler |a| ||\begin{align} -2 &= \dfrac{a}{2}-3 \\ 1 &=\dfrac{a}{2} \\ 2 &= a \end{align}||
Réponse : La règle de cette fonction est |f(x)=\dfrac{2}{x-5}-3.|
Il est possible qu’on demande de trouver la règle d’une fonction rationnelle sous la forme générale, aussi appelée la forme P/Q, plutôt que sous la forme canonique. Pour y arriver, il faut tout de même commencer par trouver la règle sous la forme canonique. Lorsque c’est fait, il ne reste qu’à faire le passage de la forme canonique à la forme P/Q.
Pour valider ta compréhension à propos de la fonction rationnelle et de plusieurs autres fonctions de façon interactive, consulte la MiniRécup suivante :
