Dans cette fiche, plusieurs stratégies de calcul mental sont proposées. Le secret, c’est de s’exercer. Cela permet de développer des stratégies qui sont efficaces, car il y a souvent plus d’une façon de raisonner pour compléter un calcul mentalement.
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Visualiser l’opération dans un cadre concret
Les calculs mathématiques sont souvent abstraits, mais si on pense à un contexte réel, les calculs deviennent plus concrets et plus faciles à visualiser.
Par exemple, |6\times 0{,}25| semble difficile à effectuer mentalement. Toutefois, si tu imagines plutôt qu’il s’agit de calculer la valeur de |6| pièces de |25| cents, alors tu peux peut-être trouver la réponse plus facilement puisque tu sais qu’il faut |4| pièces de |25| cents pour faire |1\ \$.| Ainsi, |6\times 0{,}25=1{,}50.|
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Apprendre par cœur
Pour faire du calcul mental, il faut connaitre les tables d’arithmétique. Heureusement, il existe plusieurs trucs pour apprendre les tables par cœur. En plus d’apprendre les tables d’addition, de soustraction, de multiplication et de division, il peut aussi être utile d’apprendre quelques nombres carrés comme |1,| |4,| |9,| |16,| etc., ou encore les puissances de |2| comme |1,| |2,| |4,| |8,| |16,| |32,| |64,| etc. Bref, plus tu augmentes ta banque de connaissances, plus les calculs mentaux te sembleront faciles.
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Estimer
Dans bien des situations, il n’est pas nécessaire de trouver la réponse exacte à un calcul. Une bonne estimation fait généralement l’affaire.
Par exemple, si tu achètes |3| articles à |7{,}95\ \$,| |12{,}09\ \$| et |15{,}99\ \$| et que tu veux connaitre le montant total de tes achats, tu peux arrondir les 3 nombres et effectuer l’addition suivante : |8+12+16.| Tu obtiens |36\ \$,| ce qui est très près de la réponse exacte de |36{,}03\ \$.|
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Arrondir, puis retirer les zéros du calcul
Il s’agit de procéder en 3 étapes.
1. On arrondit un ou des nombres avec lesquels on doit effectuer une opération.
2. On fait le calcul sans tenir compte des zéros.
3. On réajuste notre réponse.
Par exemple, que vaut |108 + 34|? En arrondissant |108| à |110| et |34| à |30,| le calcul devient |110+30.| Comme |11+3=14,| on sait que |110+30=140.| On a ajouté |2| unités pour arrondir |108| à |110| et on a enlevé |4| unités pour arrondir |34| à |30.| On doit donc soustraire |2| et ajouter |4| à |140,| ce qui donne |142.|
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Décomposer les opérations
Il s’agit d’utiliser les propriétés des opérations (associativité, commutativité et distributivité) à son avantage. En effet, il est souvent plus facile de faire un calcul en plusieurs petites étapes accessibles qu’en une seule étape compliquée.
Par exemple, |35\times 12| est difficile, mais |35\times 10+35\times 2| est plus accessible. Au lieu d’une seule multiplication, on fait donc 2 multiplications, suivies d’une addition. Il y a plus d’opérations à faire, mais au moins, on arrive à trouver la réponse mentalement.
Remarque : N’oublie pas de respecter la priorité des opérations lorsque tu décomposes un calcul en plusieurs opérations.
Il y a souvent plus d’une façon de décortiquer un calcul. Par exemple, |35\times 12| aurait aussi pu être décomposé de la façon suivante : |30\times 12+ 5\times 12.| L’important n’est pas que tout le monde décompose son calcul de la même façon, mais que tu le décomposes d’une façon qui fonctionne bien pour toi.
Il en est de même lorsqu’on a un calcul avec plusieurs nombres et qu’on décide d’utiliser la stratégie d’arrondissement à la dizaine près. On n’est pas obligé d’arrondir tous les nombres. Par exemple, pour faire |108+34,| tu peux décider d’arrondir seulement |108| à |110| et de ne pas arrondir le nombre |34.| Ainsi le calcul devient |110 + 34 -2.|
Dans l’exemple suivant, on va arrondir les nombres, les additionner, puis ajuster le résultat obtenu à la fin.
Trouve la somme de |139| et |48| mentalement.
On peut arrondir |139| à la dizaine près. On obtient |140.|
On peut aussi arrondir |48| à la dizaine près. On obtient |50.|
Pour effectuer l’addition, on peut ignorer les |0| et les ajouter à la fin. Comme |14 + 5| donne |19,| alors |140 + 50| donne |190.|
Il ne reste qu’à ajuster le résultat, car on a modifié les termes de l’addition initiale. On a ajouté |1| unité pour arrondir |139| à |140| et on a ajouté |2| unités pour arrondir |48| à |50.| On doit donc soustraire |1| et soustraire |2| à |190,| ce qui donne |187.|
Réponse : La somme de |139| et |48| est |187.|
Voici le détail des calculs faits mentalement.||\begin{alignat}{13}139+48&=(139\boldsymbol{\color{#ec0000}{+1}})&&+(48\boldsymbol{\color{#3a9a38}{+2}})&&\boldsymbol{\color{#ec0000}{-}}\boldsymbol{\color{#ec0000}{1}}\boldsymbol{\color{#3a9a38}{-2}}\\&=\ \ \ \ \ 140&&+\ \ \ \ \ 50&&-3\\&=\ \,14\times10&&+\ \,5\times10&&-3\\&=&&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!(14+5)\times10&&-3\\&=&&\!\boldsymbol{19}0&&-3\\&=&&\!187\end{alignat}||
Comme l’addition est commutative et associative, on peut changer l’ordre des calculs sans changer le résultat final. On priorise donc les calculs où il n’y a pas de retenue à faire ou qui donne un multiple de |10| ou de |100.|
Par exemple, si on doit faire |94+18+6,| on commence par faire |94+6,| qui donne |100,| puis on ajoute |18.|
On peut aussi décortiquer un calcul en petits calculs plus accessibles mentalement.
Par exemple, au lieu de faire |67+25,| on fait |67+20+5.|
Dans l’exemple suivant, on va arrondir les nombres, les soustraire, puis ajuster le résultat obtenu à la fin.
Trouve la différence entre |112| et |90| mentalement.
On peut arrondir |112| à la dizaine près. On obtient |110.|
On n’a pas besoin d’arrondir |90| puisqu’il se termine déjà par un |0.|
Pour effectuer la soustraction, on peut ignorer les |0| et les ajouter à la fin. Comme |11 - 9| donne |2,| alors |110 - 90| donne |20.|
Il ne reste qu’à ajuster le résultat, car on a modifié les termes de la soustraction initiale. On a enlevé |2| unités pour arrondir |112| à |110.| On doit donc additionner |2| à |20,| ce qui donne |22.|
Réponse : La différence entre |112| et |90| est |22.|
Voici le détail des calculs faits mentalement.||\begin{alignat}{13}112-90&=(112\boldsymbol{\color{#ec0000}{-2}})&&-90&&\boldsymbol{\color{#ec0000}{+}}\boldsymbol{\color{#ec0000}{2}}\\&=\ \ \ \ \ 110&&-90&&+2\\&=&&20&&+2\\&=&&22\end{alignat}||
On peut utiliser les propriétés d’associativité et de commutativité pour nous aider à faire certaines soustractions mentalement.
On priorise les soustractions qui ne nécessitent pas le recours à l’emprunt.
On essaie également de décortiquer une grosse soustraction par une série de petites soustractions plus accessibles.
Par exemple, au lieu de faire |253-36,| on fait |253-30-6.|
Si on doit effectuer une opération avec des nombres se terminant par des |0,| on peut les ignorer pendant le calcul. Puis, à la fin de l’opération, on ajoute les |0| ignorés ou on déplace la virgule.
Trouve le produit de |200 \times 70| mentalement.
Si on ignore tous les |0,| la multiplication devient |2 \times 7.| Le résultat de cette multiplication est |14.|
On doit ensuite ajouter les |0| ignorés au début. Puisqu’on en a ignoré |3,| |(2\boldsymbol{\color{#3b87cd}{00}} \times 7\boldsymbol{\color{#3b87cd}0}),| il faut les ajouter après |14.|
Réponse : Le produit de |200 \times 70| est donc |14\ \boldsymbol{\color{#3b87cd}{000}}.|
Voici le détail des calculs faits mentalement.||\begin{alignat}{13}200\times70&=2\times100&&\times\ \ \ 7\times10\\&=\,(2\times7)&&\times(100\times10)\\&=\ \ \ \ 14&&\times\ \ \ \,1\ 000\\&=&&\!\!\!\!\!\!14\ 000\end{alignat}||
Trouve le produit de |3{,}012 \times 200| mentalement.
Si on ignore les |0| à la fin du nombre |200,| la multiplication devient |3{,}012 \times 2.| Le résultat de cette multiplication est |6{,}024.|
On doit ensuite déplacer la virgule de 2 positions vers la droite puisqu’on a ignoré 2 zéros au début. ||6{,}024\ \overset{\!\!\times 100}{\large\longrightarrow}\ 602{,}4||
Réponse : Le produit de |3{,}012 \times 200| est donc |602{,}4.|
Voici le détail des calculs faits mentalement.||\begin{align}3{,}012\times200&=3{,}012\times 2\times100\\&=6{,}024\times100\\&=602{,}4\end{align}||
Pour trouver mentalement le résultat d'une multiplication dont les nombres ne se terminent pas par des |0,| on arrondit un des nombres, on effectue le calcul et on ajuste le résultat final.
Trouve le produit de |21 \times 6| mentalement.
On peut arrondir |21| à la dizaine près. On obtient |20.| Ainsi, |21 \times 6| devient |20 \times 6.|
Pour effectuer la multiplication, on peut ignorer les |0| et les ajouter à la fin. Puisque |2 \times 6| est égal à |12,| alors |20 \times 6| est égal à |120.|
Il ne reste qu’à ajuster le résultat, car on a modifié les termes de la multiplication initiale. On devait multiplier |21| par |6,| mais on n’a fait que |20| fois |6.| Il faut donc ajouter |1\times 6=6| à notre résultat. ||120 +6 =126||
Réponse : Le produit de |21 \times 6| est |126.|
Remarque : C’est la propriété de la distributivité de la multiplication qui a été utilisée.
Voici le détail des calculs faits mentalement.||\begin{alignat}{13}\boldsymbol{\color{#ec0000}{21}}\times6&=&&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\boldsymbol{\color{#ec0000}{(20+1)}}\times6\\&=20\times6&&+1\times6\\&=\ \ \,120&&+\ \ \ 6\\&=&&\!126\end{alignat}||
La multiplication est aussi commutative et associative. Ainsi, dans un calcul où plusieurs multiplications se suivent, on peut changer l’ordre à notre guise.
De plus, on peut parfois utiliser les astuces suivantes.
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Multiplier par |5,| c’est comme multiplier par |10| et diviser par |2,| car |\boldsymbol{\color{#3b87cd}{\times\,5}}=\boldsymbol{\color{#3b87cd}{\times\dfrac{10}{2}}}.|
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Multiplier par |20,| c’est comme multiplier par |2| et multiplier par |10.| C’est le même principe si on doit multiplier par |30,| par |40,| etc.
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Multiplier par |25,| c’est comme multiplier par |100| et diviser par |4,| car |\boldsymbol{\color{#3b87cd}{\times\,25}}=\boldsymbol{\color{#3b87cd}{\times\dfrac{100}{4}}}.|
Parfois plusieurs astuces sont possibles pour faire un calcul. C’est à toi de trouver la méthode qui te convient le mieux.
Par exemple, pour faire |48\times 25,| on peut faire |48\div 4\times 100| ou |12\times (4\times 25)| ou encore |(50-2)\times 25.|
Si les 2 nombres de la division se terminent par un ou plusieurs |0,| il est possible de les éliminer pour faciliter la division. Il suffit de choisir le plus petit nombre de |0| parmi les 2 nombres représentés dans la division et de les enlever. Comme on a retiré le même nombre de |0| au dividende et au diviseur, on obtient directement la bonne réponse.
Trouve le quotient de |200 \div 50| mentalement.
Comme les |2| nombres ont des |0| à la fin, on choisit le nombre qui en possède le moins. Il y en a |1| dans |50| et il y en a |2| dans |200.| On enlève donc seulement un |0| à chacun des nombres.
||200 \div 50\ \Rightarrow\ 20 \div 5||
Le quotient de cette division est |4.| Il en va de même pour le quotient de la division initiale.
Réponse : Le quotient de |200 \div 50| est donc |4.|
Voici le détail des calculs faits mentalement.||\dfrac{200}{50}=\dfrac{20\cancel{\times10}}{5\cancel{\times10}} =\dfrac{20}{5} =4||
Il est possible de ne pas enlever le même nombre de |0| aux 2 termes de la division.
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Lorsqu’on retire plus de |0| au dividende, il faut les remettre à la réponse finale.
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Lorsqu’on retire plus de |0| au diviseur, il faut déplacer la virgule vers la gauche, selon le nombre de |0| retirés, à la réponse finale.
Trouve le quotient de |720 \div 9| mentalement.
En ignorant le |0| de |720,| la division devient |72 \div 9.| Le nombre |72| est bien divisible par |9,| le résultat de cette division est |8.|
Comme on a enlevé un |0| au dividende, on doit l’ajouter à notre réponse |(8 \rightarrow8\boldsymbol{\color{#3a9a38}0}).|
Réponse : Le quotient de |720 \div 9| est |80.|
Voici le détail des calculs faits mentalement.||\begin{aligned}\\720\div 9&=\\&=\\&=\\&=\end{aligned} \begin{gather}\qquad\Large\curvearrowleft\\72\times\!10\div 9\\72\div 9\times\!10\\8\times\!10\\80\end{gather}||
Trouve le quotient de |68{,}4 \div 200| mentalement.
Si on ignore tous les |0,| la division devient |68{,}4 \div 2.| Le résultat de cette division est |34{,}2.|
On doit ensuite déplacer la virgule de |2| positions vers la gauche puisqu’on a ignoré |2| zéros au début. ||34{,}2\ \overset{\!\!\div 100}{\large\longrightarrow}\ 0{,}342||
Réponse : Le quotient de |68{,}4 \div 200| est donc |0{,}342.|
Voici le détail des calculs faits mentalement.||\begin{align}68{,}4\boldsymbol{\color{#3b87cd}{\div200}}&=(68{,}4\boldsymbol{\color{#3b87cd}{\div2}})\boldsymbol{\color{#3b87cd}{\div100}}\\ &=34{,}2\div100\\ &=0{,}342 \end{align}||
La division n’est pas commutative ni associative. Néanmoins, lorsqu’il y a plusieurs divisions à faire l’une à la suite de l’autre, on peut les faire dans l’ordre qu’on veut.||a\div b\div c = a\div c\div b||D’ailleurs, on peut séparer une division compliquée en plusieurs petites divisions plus faciles à faire. Par exemple, au lieu de diviser par |15,| on peut diviser par |5| et ensuite par |3,| ou l’inverse.
On peut également utiliser la propriété de la distributivité de la division vers la gauche.||(a\pm b)\div c=a\div c\pm b\div c||De plus, on peut parfois utiliser les astuces suivantes.
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Diviser par |5,| c’est comme multiplier par |2| et diviser par |10,| car |\boldsymbol{\color{#3b87cd}{\div\,5}}= \boldsymbol{\color{#3b87cd}{\div\dfrac{10}{2}}}=\boldsymbol{\color{#3b87cd}{\times\dfrac{2}{10}}}.|
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Diviser par |20,| c’est comme diviser par |2| et diviser par |10.| C’est le même principe si on doit diviser par |30,| par |40,| etc.
Calculer le « tant pour cent » d’une certaine quantité est très utile dans la vie de tous les jours. On n’a qu’à penser aux taxes et aux rabais qui sont exprimés en pourcentage. Il est très pratique d’être capable de calculer mentalement le « tant pour cent » pour avoir une idée juste du montant à payer.
Un pourcentage est une fraction sur |100.| Ainsi, pour calculer mentalement un « tant pour cent », on fait une multiplication suivie d’une division. On utilise donc les mêmes trucs de calcul mental que ceux qui ont été vus dans les sections sur la multiplication et la division. Il existe également d’autres astuces.
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|50\ \%| d’un nombre, c’est la moitié. Donc, il suffit de diviser le nombre par |2.|
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Pour calculer |10\ \%| d’un nombre, il suffit de diviser le nombre par |10.| Autrement dit, il faut déplacer la virgule d’une position vers la gauche.
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À partir du |10\ \%| d’un nombre, on peut rapidement donner d’autres pourcentages de ce nombre. Par exemple, pour |30\ \%,| on multiplie le |10\ \%| qu’on a calculé par |3,| alors que pour |5\ \%| on divise le |10\ \%| par |2.|
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Pour calculer |15\ \%| d’un nombre, qui donne une bonne estimation des taxes, il suffit d’additionner le |10\ \%| avec la moitié du |10\ \%,| c’est-à-dire |5\ \%.|
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S’il y a |\boldsymbol{30\ \%}| de rabais sur un article à |\boldsymbol{60\ \$,}| quelle est la valeur du rabais?
On commence par calculer |10\ \%| de |60\ \$.| Pour cela, il suffit de diviser par |10| (on enlève le |0| de |60|).||10\ \% \text{ de } 60\ \$=60\ \$\div 10 = 6\ \$||Ensuite, comme on veut |30\ \%| du montant, soit |3| fois |10\ \%,| on multiplie notre résultat par |3.| ||6\ \$ \times 3 = 18\ \$||Réponse : La valeur du rabais est de |18\ \$.|
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Le montant de ma facture dans une quincaillerie est de |\boldsymbol{36\ \$}| auquel je dois ajouter |\boldsymbol{15\ \%}| de taxes. Quel montant dois-je payer?
On commence par calculer |10\ \%| de |36\ \$.| Pour cela, il suffit de déplacer la virgule vers la gauche.||10\ \% \text{ de } 36{,}00\ \$ = 3{,}60\ \$||On calcule ensuite |5\ \%| de |36\ \$.| Comme on a déjà le |10\ \%| de |36\ \$,| il suffit de diviser ce |10\ \%| par |2.| ||\begin{align}5\ \% \text{ de } 36{,}00\ \$ &= (10\ \% \text{ de } 36{,}00\ \$)\div 2 \\ &=3{,}60\ \$\div 2 \\ &=1{,}80\ \$\end{align}||Les taxes à payer correspondent à la somme de ces 2 montants.||\text{Taxes}=3{,}60+1{,}80=5{,}40\ \$||Réponse : Le montant à payer est de |36{,}00+5{,}40=41{,}40\ \$.|
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