Le rapport tangente est l’un des 3 principaux rapports trigonométriques que l'on retrouve dans un triangle rectangle.
Dans un triangle rectangle, la tangente d’un angle |(\boldsymbol \theta)| correspond au rapport entre la mesure de la cathète opposée à l’angle et celle de la cathète adjacente.||\tan \theta=\dfrac{\text{cathète $\color{#EC0000}{\text{opposée}}$ à l'angle }\theta}{\text{cathète $\color{#333FB1}{\text{adjacente}}$ à l'angle }\theta}||
Ainsi, si on veut déterminer la tangente des angles aigus dans le triangle rectangle suivant, on obtient 2 rapports.
Le rapport trigonométrique tangente ne s’utilise qu’avec les angles aigus d’un triangle rectangle. Ainsi, on ne cherche jamais la tangente à partir de l’angle droit.
Le rapport trigonométrique tangente permet de déterminer la mesure de l’une des 2 cathètes du triangle rectangle à l’aide de la mesure d’un angle aigu et de la mesure de l’autre cathète.
Détermine la mesure du côté |\overline{BC}| à l’aide du rapport tangente dans le triangle rectangle suivant.
Le côté |\overline{BC}| est opposé à l’angle de |34^{\circ}.| Comme on connait également la mesure de son côté adjacent, on peut utiliser le rapport tangente pour déterminer la mesure du côté |\overline{BC}.|
On substitue les mesures dans le rapport.||\begin{align}\tan \theta&=\dfrac{\text{cathète $\color{#EC0000}{\text{opposée}}$ à l'angle }\theta}{\text{cathète $\color{#333FB1}{\text{adjacente}}$ à l'angle }\theta}\\\tan34^{\circ}&=\dfrac{\color{#EC0000}{\text{m}\overline{BC}}}{\color{#333FB1}{6}}\end{align}||À l’aide de la calculatrice, on calcule la tangente de |34^{\circ}| et on isole la mesure recherchée.||\begin{align}0{,}674\,5&\approx\dfrac{\color{#EC0000}{\text{m}\overline{BC}}}{\color{#333FB1}{6}}\\4{,}047\,1&\approx\color{#ec0000}{\text{m}\overline{BC}}\end{align}||
Réponse : Arrondie au centième près, la mesure du côté |\overline{BC}| est d’environ |4{,}05\ \text{cm}.|
Pour plus de précision, il est préférable d’effectuer le calcul en une seule étape sur la calculatrice. Si ce n’est pas possible, il est avantageux de conserver un minimum de 3 à 4 chiffres après la virgule.
Voici un exemple lorsque |\theta=65^{\circ}| et que la cathète adjacente à l’angle mesure |59\ \text{cm}.|
En effectuant le calcul en 1 seule étape
|\begin{align}\tan65^{\circ}&=\dfrac{a}{{59}}\\\tan65^{\circ}\times59&=a\\\color{#EC0000}{126{,}53}&\approx a\end{align}|
En effectuant le calcul en 2 étapes
|\begin{align}\tan65^{\circ}&=\dfrac{a}{59}\\\color{#ec0000}{2{,}14}&\approx\dfrac{a}{59}\\2{,}14\times59&\approx a\\\color{#EC0000}{126{,}26}&\approx a\end{align}|
En effectuant le calcul en 2 étapes et en ne conservant que 2 décimales lors du calcul de la tangente de l’angle, on obtient une différence de 27 centièmes avec la réponse attendue.
Détermine la mesure de la cathète recherchée à l’aide du rapport tangente dans le triangle rectangle suivant.
Le côté |\overline{AC}| est adjacent à l’angle de |69^{\circ}.| Comme on connait également la mesure du côté opposé, on peut utiliser le rapport tangente avec un angle |\theta| de |69^{\circ}.|||\begin{align}\tan \theta&=\dfrac{\text{cathète $\color{#EC0000}{\text{opposée}}$ à l'angle }\theta}{\text{cathète $\color{#333FB1}{\text{adjacente}}$ à l'angle }\theta}\\\tan69^{\circ}&=\dfrac{\color{#EC0000}{32{,}21}}{\color{#333FB1}{\text{m}\overline{AC}}}\\\end{align}||Puisque la mesure recherchée se trouve au dénominateur dans le rapport, on peut procéder de la façon suivante.||\begin{align}\dfrac{\tan69^{\circ}}{1}&=\dfrac{32{,}21}{\color{#333FB1}{\text{m}\overline{AC}}}\\\color{#333FB1}{\text{m}\overline{AC}}\times \tan69^{\circ}&=32{,}21\times 1\\\color{#333FB1}{\text{m}\overline{AC}}&=\dfrac{32{,}21}{\tan69^{\circ}}\\\color{#333FB1}{\text{m}\overline{AC}}&\approx \color{#333FB1}{12{,}36}\end{align}||
Réponse : La mesure de la cathète recherchée est d’environ |12{,}36\ \text{cm}.|
Pour déterminer la mesure d’un angle aigu dans un triangle rectangle à l’aide du rapport tangente, on doit connaitre la mesure de son côté opposé et celle de son côté adjacent. Cela revient à répondre à la question suivante : « Quel angle me donne un rapport tangente de…? »
On détermine d’abord le rapport tangente, puis on utilise la touche |\tan^{-1}| (qu’on appelle aussi |arctan|) sur la calculatrice.
Détermine la mesure de l’angle |BAC| dans le triangle rectangle suivant à l’aide du rapport tangente.
On connait la mesure du côté qui est opposé et celle du côté qui est adjacent à l’angle |BAC.| On peut donc appliquer le rapport tangente pour déterminer la mesure de l’angle |BAC.|||\begin{align}\tan \theta&=\dfrac{\text{cathète $\color{#EC0000}{\text{opposée}}$ à l'angle }\theta}{\text{cathète $\color{#333FB1}{\text{adjacente}}$ à l'angle }\theta}\\\tan \theta&=\dfrac{\color{#EC0000}{3{,}9}}{\color{#333FB1}{9{,}65}}\\\theta&=\color{#EC0000}{\tan^{-1}\left(\color{black}{\dfrac{3{,}9}{9{,}65}}\right)}\\\theta&\approx22^{\circ}\end{align}||Réponse : La mesure de l’angle |BAC| est d’environ |22^{\circ}.|
Voici une partie de ce qu’on appelle une table trigonométrique, un outil qui était utilisé en mathématiques avant l’invention de la calculatrice. On y a inscrit la mesure de certains angles et le rapport tangente qui leur est associé.
À l’époque, on devait utiliser ce tableau pour trouver la mesure d’un angle dans un triangle rectangle. Par exemple, si on savait qu’un rapport tangente valait environ |1{,}191\,8,| alors l’angle qu’on cherchait était de |50^{\circ}.|
| Mesure de l’angle | Rapport sinus |
|---|---|
| |10^{\circ}| | |\approx 0{,}176\,3| |
| |20^{\circ}| | |\approx 0{,}364| |
| |30^{\circ}| | |\approx 0{,}577\,4| |
| |40^{\circ}| | |\approx 0{,}839\,1| |
| |50^{\circ}| | |\approx 1{,}191\,8| |
| |60^{\circ}| | |\approx 1{,}732\,1| |
Heureusement, depuis l’invention de la calculatrice, il n’est plus obligatoire d’utiliser la table trigonométrique pour déterminer un angle dans un triangle rectangle.
La fonction arc tangente (notée |\tan^{-1}(x)|) est la réciproque de la fonction tangente.||\tan \theta=x\ \Leftrightarrow \ \tan^{-1}x=\theta||