Lorsqu’on étudie des solides semblables ou des figures semblables, on peut établir des rapports de proportionnalité entre ceux-ci. Ces rapports de longueurs |(k),| d’aires |(k^2)| et de volumes |(k^3)| sont liés entre eux par des relations et permettent de calculer des mesures manquantes.
Les rapports de similitude, d’aires et de volumes ne sont valides que si l’on compare des longueurs, des aires ou des volumes homologues. Par exemple, il ne faut pas comparer la hauteur d’une pyramide avec l’apothème d’une autre pyramide, puisque la hauteur et l’apothème ne sont pas des segments homologues.
Le rapport de similitude |\boldsymbol{(k)}| est un rapport entre des longueurs homologues (côtés, périmètres, rayons, circonférences, etc.) de 2 figures semblables.
||k=\dfrac{\text{Longueur quelconque dans la figure image}}{\text{Longueur homologue dans la figure initiale}}||
Les rapports de similitude, d’aires et de volumes indiquent soit un agrandissement ou une réduction de la figure image par rapport à la figure initiale.
Si la figure image est plus grande que la figure initiale, alors :||k=\dfrac{\color{#333fb1}{\text{Figure image}}}{\color{#3a9a38}{\text{Figure initiale}}}=\dfrac{\color{#333fb1}{\text{Grande figure}}}{\color{#3a9a38}{\text{Petite figure}}}||
où |k>1|
Dans ce cas-ci, on dit que |k| est un rapport d’agrandissement.
Si la figure image est plus petite que la figure initiale, alors :||k=\dfrac{\color{#333fb1}{\text{Figure image}}}{\color{#3a9a38}{\text{Figure initiale}}}=\dfrac{\color{#333fb1}{\text{Petite figure}}}{\color{#3a9a38}{\text{Grande figure}}}||
où |0<k<1|
Dans ce cas-ci, on dit que |k| est un rapport de réduction.
Trouve le rapport de similitude |(k)| entre les trapèzes semblables suivants, sachant que le trapèze bleu est la figure image et que le trapèze vert est la figure initiale.
Pour calculer le rapport de similitude, on peut utiliser les grandes bases.||\begin{align}k&=\dfrac{\color{#333fb1}{\text{Grande base du trapèze image}}}{\color{#3a9a38}{\text{Grande base du trapèze initial}}}\\k&=\dfrac{\color{#333fb1}{12\ \text{cm}}} {\color{#3a9a38}{4{,}8\ \text{cm}}}\\k&=\dfrac{5}{2}\end{align}||En appliquant le même raisonnement à toutes les paires de longueurs homologues, on obtient toujours la même valeur de |k.|
Petites bases||\begin{align}k&=\dfrac{\color{#333fb1}{4\ \text{cm}}}{\color{#3a9a38}{1{,}6\ \text{cm}}}\\ k&=\dfrac{5}{2}\end{align}||Hauteurs||\begin{align}k&=\dfrac{\color{#333fb1}{6\ \text{cm}}}{\color{#3a9a38}{2{,}4\ \text{cm}}}\\ k&=\dfrac{5}{2}\end{align}||
Côtés obliques||\begin{align}k&=\dfrac{\color{#333fb1}{10\ \text{cm}}}{\color{#3a9a38}{4\ \text{cm}}}\\ k&=\dfrac{5}{2}\end{align}||Périmètres||\begin{align}k&=\dfrac{\color{#333fb1}{12}+\color{#333fb1}{6}+\color{#333fb1}{4}+\color{#333fb1}{10}}{\color{#3a9a38}{4{,}8}+\color{#3a9a38}{2{,}4}+\color{#3a9a38}{1{,}6}+\color{#3a9a38}{4}}\\
k&=\dfrac{\color{#333fb1}{32\ \text{cm}}}{\color{#3a9a38}{12{,}8\ \text{cm}}}=\dfrac{5}{2}\end{align}||
Réponse : Le rapport de similitude est |k=\dfrac{5}{2}.| Puisque |k>1,| c’est un rapport d’agrandissement.
Remarque : Il est important de noter que tous les rapports sont équivalents. Autrement, les 2 figures ne seraient pas semblables. Aussi, si on avait défini le trapèze bleu comme la figure initiale et le trapèze vert comme la figure image, alors |k| aurait plutôt été un rapport de réduction d’une valeur de |\dfrac{2}{5}.|
Voici un exemple où on utilise le rapport |k| pour trouver une mesure manquante.
Trouve la hauteur du prisme bleu, sachant qu’il est semblable au prisme vert.
On peut définir la figure image comme étant le prisme bleu.
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Calculer le rapport |k|
Puisqu’on connait la mesure des côtés des bases, la valeur de |k| est donnée par le rapport suivant.||\begin{align}k&={\dfrac{\color{#333fb1}{\text{Côté de la base du prisme image}}}{\color{#3a9a38}{\text{Côté de la base du prisme initial}}}}\\k&=\dfrac{\color{#333fb1}{2\ \text{cm}}}{\color{#3a9a38}{6\ \text{cm}}}\\k&=\dfrac{1}{3}\end{align}|| -
Calculer la mesure manquante
On calcule la mesure manquante à l’aide de la méthode de la balance.||\begin{align}k&={\dfrac{\color{#333fb1}{\text{Hauteur du prisme image}}}{\color{#3a9a38}{\text{Hauteur du prisme initial}}}}\\\dfrac{1}{3}&=\dfrac{\color{#333fb1}{h}}{\color{#3a9a38}{9{,}6}}\\\dfrac{1}{3}\color{#ec0000}{\times9{,}6}\ &=\dfrac{h}{9{,}6}\color{#ec0000}{\times 9{,}6}\\3{,}2\ \text{cm}&=h\end{align}||
Réponse : La mesure de la hauteur du prisme bleu est de |3{,}2\ \text{cm}.|
Le rapport des aires |\boldsymbol{(k^2)}| est un rapport entre des surfaces homologues (aires de figures planes, bases de prismes, faces latérales de pyramides, etc.) de 2 figures semblables.
||k^2=\dfrac{\text{Aire quelconque dans la figure image}}{\text{Aire homologue dans la figure initiale}}||
Trouve le rapport des aires |(k^2)| entre les trapèzes semblables suivants, sachant que le trapèze bleu est la figure image et que le trapèze vert est la figure initiale.
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Calculer les aires
Pour calculer le rapport |k^2| entre les 2 figures, on doit d’abord calculer l’aire des trapèzes.
Aire de la figure initiale||\begin{align}A_\text{initiale}&=\dfrac{(B+b)\times h}{2}\\A_\text{initiale}&=\dfrac{(4{,}8+1{,}6)\times2{,}4}{2}\\A_\text{initiale}&=7{,}68\ \text{cm}^{2}\end{align}||
Aire de la figure image||\begin{align}A_\text{image}&=\dfrac{(B+b)\times h}{2}\\A_\text{image}&=\dfrac{(12+4)\times6}{2}\\A_\text{image}&=48\ \text{cm}^{2}\end{align}||
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Calculer le rapport des aires
||\begin{align}k^2&=\dfrac{\color{#333fb1}{\text{Aire du trapèze image}}}{\color{#3a9a38}{\text{Aire du trapèze initial}}}\\k^2&=\dfrac{\color{#333fb1}{48\ \text{cm}^2}}{\color{#3a9a38}{7{,}68\ \text{cm}^2}}\\k^2&=\dfrac{25}{4}\end{align}||
Réponse : Le rapport des aires |(k^2)| vaut |\dfrac{25}{4}.|
Voici un exemple où on utilise le rapport |k^2| pour trouver une aire manquante.
Trouve l’aire latérale du prisme bleu, sachant qu’il est semblable au prisme vert.
On peut définir la figure image comme étant le prisme bleu.
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Calculer le rapport |k^2|
Puisqu’on connait la mesure de l’aire des bases, la valeur de |k^2| est donnée par le rapport suivant.||\begin{align}k^2&={\dfrac{\color{#333fb1}{\text{Aire de la base du prisme image}}}{\color{#3a9a38}{\text{Aire de la base du prisme initial}}}}\\k^2&=\dfrac{\color{#333fb1}{10{,}39\ \text{cm}^2}}{\color{#3a9a38}{93{,}51\ \text{cm}^2}}\\k^2&=\dfrac{1}{9}\end{align}|| -
Calculer la mesure manquante
||\begin{align}k^2&={\dfrac{\color{#333fb1}{\text{Aire latérale du prisme image}}}{\color{#3a9a38}{\text{Aire latérale du prisme initial}}}}\\\dfrac{1}{9}&=\dfrac{\color{#333fb1}{A_L}}{\color{#3a9a38}{345{,}60}}\\\dfrac{1}{9}\color{#ec0000}{\times345{,}60}&=\dfrac{A_L}{345{,}60}\color{#ec0000}{\times345{,}60}\\38{,}4\ \text{cm}^2&=A_L\end{align}||
Réponse : L’aire latérale du prisme bleu est de |38{,}4\ \text{cm}^2.|
Le rapport des volumes |\boldsymbol{(k^3)}| est un rapport entre les volumes de 2 solides semblables.
||k^3=\dfrac{\text{Volume du solide image}}{\text{Volume du solide initial}}||
Trouve le rapport des volumes |(k^3)| entre les prismes à base trapézoïdale semblables suivants, sachant que le prisme bleu est le solide image et que le prisme vert est le solide initial.
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Calculer les volumes
Pour calculer le rapport |k^3| entre les 2 solides, on doit d’abord calculer le volume des prismes.
Calculer le volume du solide initial||\begin{align}V_\text{initial}&=A_b\times h_{\text{prisme}}\\V_\text{initial}&=\dfrac{(B+b)\times h_{\text{trapèze}}}{2}\times h_{\text{prisme}}\\V_\text{initial}&=\dfrac{(6+2)\times 3}{2}\times 4\\V_\text{initial}&=48\ \text{cm}^3\end{align}||
Calculer le volume du solide image||\begin{align}V_\text{image}&=A_b\times h_{\text{prisme}}\\V_\text{image}&=\dfrac{(B+b)\times h_{\text{trapèze}}}{2}\times h_{\text{prisme}}\\V_\text{image}&=\dfrac{(12+4)\times 6}{2}\times 8\\V_\text{image}&=384\ \text{cm}^3\end{align}||
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Calculer le rapport des volumes
||\begin{align}k^3&=\dfrac{\color{#333fb1}{\text{Volume du prisme image}}}{\color{#3a9a38}{\text{Volume du prisme initial}}}\\k^3&=\dfrac{\color{#333fb1}{384\ \text{cm}^3}}{\color{#3a9a38}{48\ \text{cm}^3}}\\k^3&=8\end{align}||
Réponse : Le rapport des volumes |(k^3)| vaut |8.|
Voici un exemple où on utilise le rapport |k^3| pour trouver un volume manquant.
Trouve le volume du prisme bleu, sachant qu’il est semblable au prisme vert dans un rapport |k^3=\dfrac{1}{27}.|
Puisque |k^3| est entre |0| et |1,| il s’agit d’un rapport de réduction. La figure image est donc nécessairement le prisme bleu. Par la définition du rapport des volumes |k^3,| on a ceci.||\begin{align}k^3&=\dfrac{\color{#333fb1}{\text{Volume du prisme image}}}{\color{#3a9a38}{\text{Volume du prisme initial}}}\\\dfrac{1}{27}&=\dfrac{\color{#333fb1}{V}}{\color{#3a9a38}{899{,}1}}\\\dfrac{1}{27}\color{#ec0000}{\times899{,}1}&=\dfrac{V}{899{,}1}\color{#ec0000}{\times899{,}1}\\33{,}3\ \text{cm}^3&=V\end{align}||
Réponse : Le prisme bleu a un volume de |33{,}3\ \text{cm}^3.|
L’outil interactif suivant permet d’observer ce qui se produit avec les longueurs, les aires et le volume en changeant la valeur de |k.|
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Combien de fois le segment vert entre-t-il dans le segment bleu?
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Combien de fois le carré vert entre-t-il dans le carré bleu?
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Combien de fois le cube vert entre-t-il dans le cube bleu?
|k=2|
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Le segment vert entre |2| fois dans le segment bleu. Autrement dit, la longueur du segment bleu est |2| fois plus grande que celle du segment vert.
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Le carré vert entre |4| fois dans le carré bleu. Autrement dit, l’aire du carré bleu est |4| fois plus grande que celle du carré vert.
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Le cube vert entre |8| fois dans le cube bleu. Autrement dit, le volume du cube bleu est |8| fois plus grand que celui du cube vert.
|k=3|
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Le segment vert entre |3| fois dans le segment bleu. Autrement dit, la longueur du segment bleu est |3| fois plus grande que celle du segment vert.
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Le carré vert entre |9| fois dans le carré bleu. Autrement dit, l’aire du carré bleu est |9| fois plus grande que celle du carré vert.
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Le cube vert entre |27| fois dans le cube bleu. Autrement dit, le volume du cube bleu est |27| fois plus grand que celui du cube vert.
Lorsqu’on connait la valeur d’un des 3 rapports, il est possible de déduire la valeur des 2 autres à l’aide des propriétés des exposants et des racines. Le schéma suivant résume les opérations nécessaires pour passer d’un rapport à l’autre.
Pour assurer une utilisation optimale et juste de ce schéma, il faut absolument suivre le sens des flèches. Par exemple, pour passer de |k^3| à |k^2,| il est nécessaire de suivre le chemin |k^3\rightarrow k\rightarrow k^2.|
Voici comment procéder lorsqu’on cherche des mesures manquantes à l’aide de |k,| |k^2| et |k^3.|
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Identifier le rapport qui permet de trouver la mesure manquante.
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Calculer le rapport qui permet de trouver la mesure manquante à l’aide des relations entre les rapports.
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Calculer la mesure manquante.
Trouve l’aire de la base du cône bleu, sachant qu’il est semblable au cône vert.
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Identifier le rapport qui permet de trouver la mesure manquante
Puisqu’on cherche la mesure de l’aire d’une base, on a besoin de connaitre la valeur de |k^2,| soit le rapport des aires. Pour l’instant, on peut seulement trouver la valeur de |k,| puisqu’on connait la mesure des apothèmes. -
Calculer le rapport qui permet de trouver la mesure manquante à l’aide des relations entre les rapports
On peut définir la figure image comme étant le cône bleu. Ainsi, la valeur de |k| est donnée par le rapport suivant.||\begin{align}k&={\dfrac{\color{#333fb1}{\text{Apothème du cône image}}}{\color{#3a9a38}{\text{Apothème du cône initial}}}}\\k&=\dfrac{\color{#333fb1}{10{,}4\ \text{mm}}}{\color{#3a9a38}{7{,}8\ \text{mm}}}\\k&=\dfrac{4}{3}\end{align}||On peut maintenant calculer la valeur de |k^2.|||\begin{align}k^2&=\color{#EC0000}{(\color{black}{k})^2}\\k^2&=\left(\dfrac{4}{3}\right)^2\\k^2&=\dfrac{4^2}{3^2}\\k^2&=\dfrac{16}{9}\end{align}|| -
Calculer la mesure manquante
||\begin{align}k^2&=\dfrac{\color{#333fb1}{\text{Aire de la base du cône image}}}{\color{#3a9a38}{\text{Aire de la base du cône initial}}}\\\dfrac{16}{9}&=\dfrac{\color{#333fb1}{A_b}}{\color{#3a9a38}{36\pi}}\\\dfrac{16}{9}\color{#ec0000}{\times36\pi}&=\dfrac{A_b}{36\pi}\color{#ec0000}{\times36\pi}\\64\pi\ \text{mm}^2&=A_b\end{align}||
Réponse : L’aire de la base du cône bleu est de |64\pi\ \text{mm}^2.|
Trouve le volume du cylindre bleu, sachant qu’il est semblable au cylindre vert.
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Identifier le rapport qui permet de trouver la mesure manquante
Puisqu’on cherche le volume, on a besoin de connaitre la valeur de |k^3.| Pour l’instant, on peut seulement trouver la valeur de |k,| puisqu’on connait la mesure des rayons. -
Calculer le rapport qui permet de trouver la mesure manquante à l’aide des relations entre les rapports
On peut définir la figure image comme étant le cylindre bleu. Ainsi, la valeur de |k| est donnée par le rapport suivant.||\begin{align}k&={\dfrac{\color{#333fb1}{\text{Rayon du cylindre image}}}{\color{#3a9a38}{\text{Rayon du cylindre initial}}}}\\k&=\dfrac{\color{#333fb1}{5\ \text{m}}}{\color{#3a9a38}{2\ \text{m}}}\\k&=\dfrac{5}{2}\end{align}||On peut maintenant calculer la valeur de |k^3.|||\begin{align}k^3&=\color{#EC0000}{(\color{black}{k})^3}\\k^3&=\left(\dfrac{5}{2}\right)^3\\k^3&=\dfrac{5^3}{2^3}\\k^3&=\dfrac{125}{8}\end{align}|| -
Calculer la mesure manquante
||\begin{align}k^3&=\dfrac{\color{#333fb1}{\text{Volume du cylindre image}}}{\color{#3a9a38}{\text{Volume du cylindre initial}}}\\\dfrac{125}{8}&=\dfrac{\color{#333fb1}{V}}{\color{#3a9a38}{20\pi}}\\\dfrac{125}{8}\color{#ec0000}{\times20\pi}&=\dfrac{V}{20\pi}\color{#ec0000}{\times20\pi}\\312{,}5\pi\ \text{m}^3&=V\end{align}||
Réponse : Le volume du cylindre bleu est de |312{,}5\pi\ \text{m}^3.|
Trouve l’aire latérale de la pyramide bleue, sachant qu’elle est semblable à la pyramide verte.
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Identifier le rapport qui permet de trouver la mesure manquante
Puisqu’on cherche une aire, on a besoin de connaitre la valeur de |k^2.| Pour l’instant, on peut seulement trouver la valeur de |k^3,| puisqu’on connait les volumes. -
Calculer le rapport qui permet de trouver la mesure manquante à l’aide des relations entre les rapports
On peut définir la figure image comme étant la pyramide bleue. Ainsi, la valeur de |k^3| est donnée par le rapport suivant.||\begin{align}k^3&={\dfrac{\color{#333fb1}{\text{Volume de la pyramide image}}}{\color{#3a9a38}{\text{Volume de la pyramide initiale}}}}\\k^3&=\dfrac{\color{#333fb1}{531{,}25\ \text{dm}^3}}{\color{#3a9a38}{918\ \text{dm}^3}}\\k^3&=\dfrac{125}{216}\end{align}||On peut maintenant calculer la valeur de |k^2| en suivant le chemin suivant.||k^3\rightarrow k\rightarrow k^2||
||\begin{align}k&=\color{#ec0000}{\sqrt[3]{\color{black}{k^3}}}\\k&=\sqrt[3]{\dfrac{125}{216}}\\k&=\dfrac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{216}}\\k&=\dfrac{5}{6}\end{align}||
||\begin{align}k^2&=\color{#ec0000}{(\color{black}{k})^2}\\k^2&=\left(\dfrac{5}{6}\right)^2\\k^2&=\dfrac{5^2}{6^2}\\k^2&=\dfrac{25}{36}\end{align}||
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Calculer la mesure manquante
||\begin{align}k^2&=\dfrac{\color{#333fb1}{\text{Aire latérale de la pyramide image}}}{\color{#3a9a38}{\text{Aire latérale de la pyramide initiale}}}\\\dfrac{25}{36}&=\dfrac{\color{#333fb1}{A_L}}{\color{#3a9a38}{451{,}09}}\\\dfrac{25}{36}\color{#ec0000}{\times451{,}09}&=\dfrac{A_L}{451{,}09}\color{#ec0000}{\times451{,}09}\\313{,}26\ \text{dm}^2&=A_L\end{align}||
Réponse : L’aire latérale de la pyramide bleue est de |313{,}26\ \text{dm}^2.|
Les 2 solides semblables suivants sont des polyèdres réguliers nommés octaèdres.
Trouve la mesure des arêtes et le volume de l’octaèdre orange et de l’octaèdre bleu pâle.
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Identifier les rapports qui permettent de trouver les mesures manquantes
Puisqu’on cherche la mesure des arêtes et le volume des 2 octaèdres, on a besoin de connaitre la valeur de |k| et de |k^3.| Pour l’instant, on peut seulement trouver la valeur de |k^2,| puisqu’on connait les aires totales. -
Calculer le rapport |\boldsymbol{k}| à l’aide des relations entre les rapports
On peut définir la figure image comme étant l’un ou l’autre des octaèdres. On choisit l’octaèdre bleu pâle comme étant la figure image. On commence par calculer la valeur de |k^2| qui est donnée par le rapport suivant.||\begin{align}k^2&=\dfrac{\color{#51b6c2}{\text{Aire totale de l'octaèdre image}}}{\color{#fa7921}{\text{Aire totale de l'octaèdre initial}}}\\k^2&=\dfrac{\color{#51b6c2}{169{,}74\ \text{cm}^2}}{\color{#fa7921}{924{,}14\ \text{cm}^2}}\\k^2&=\dfrac{9}{49}\end{align}||On peut maintenant calculer la valeur de |k.|||\begin{align}k&=\color{#ec0000}{\sqrt{\color{black}{k^2}}}\\k&=\sqrt{\dfrac{9}{49}}\\k&=\dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{49}}\\k&=\dfrac{3}{7}\end{align}||La valeur de |k| est entre |0| et |1.| C’est tout à fait normal étant donné que la figure image a été réduite. -
Calculer la mesure des arêtes
||\begin{align}k&=\dfrac{\color{#51b6c2}{\text{Arête de l'octaèdre image}}}{\color{#fa7921}{\text{Arête de l'octaèdre initial}}}\\\dfrac{3}{7}&=\dfrac{\color{#51b6c2}{6x-91}}{\color{#fa7921}{x}}\end{align}||On utilise le produit croisé afin d’éliminer les fractions, puis on isole |x| par la méthode de la balance.||\begin{align}3\color{#fa7921}x&=7(\color{#51b6c2}{6x-91})\\3x\color{#ec0000}{-42x}&=42x-637\color{#ec0000}{-42x}\\\color{#ec0000}{\dfrac{\color{black}{-39x}}{-39}}&=\color{#ec0000}{\dfrac{\color{black}{-637}}{-39}}\\x&=16{,}\overline{3}\ \text{cm}\end{align}||Réponse : Les arêtes de l’octaèdre orange mesurent |16{,}\overline{3}\ \text{cm}.|
On peut maintenant calculer la mesure des arêtes de l’octaèdre bleu pâle par la méthode de substitution.||6\color{#fa7921}{x}-91=6(\color{#fa7921}{16{,}\overline{3}})-91=7\ \text{cm}||Réponse : Les arêtes de l’octaèdre bleu pâle mesurent |7\ \text{cm}.| -
Calculer le rapport |\boldsymbol{k^3}| à l’aide des relations entre les rapports
On connait déjà la valeur de |k,| calculée à l’étape 2. On peut donc directement calculer la valeur de |k^3.|||\begin{align}k^3&=\color{#EC0000}{(\color{black}{k})^3}\\k^3&=\left(\dfrac{3}{7}\right)^3\\k^3&=\dfrac{3^3}{7^3}\\k^3&=\dfrac{27}{343}\end{align}|| -
Calculer les volumes
On connait la mesure des arêtes et de la demi-hauteur de l’octaèdre bleu pâle, ce qui implique qu’on peut calculer son volume. En effet, l’octaèdre est un solide décomposable formé de 2 pyramides à base carrée isométriques. Autrement dit, on peut trouver le volume d’un octaèdre en calculant 2 fois le volume d’une pyramide.||\begin{align}V&=2\times\dfrac{A_b\times h}{3}\\V&=2\times\dfrac{7^2\times4{,}95}{3}\\V&=161{,}7\ \text{cm}^3\end{align}||Réponse : Le volume de l’octaèdre bleu pâle est de |161{,}7\ \text{cm}^3.|
Il ne reste qu’à trouver le volume de l’octaèdre orange à l’aide du rapport |k^3| calculé à l’étape précédente.||\begin{align}k^3&=\dfrac{\color{#51b6c2}{\text{Volume de l'octaèdre image}}}{\color{#fa7921}{\text{Volume de l'octaèdre initial}}}\\\dfrac{27}{343}&=\dfrac{\color{#51b6c2}{161{,}7}}{\color{#fa7921}V}\\27\times V&=161{,}7\times 343\\\color{#ec0000}{\dfrac{\color{black}{27\times V}}{27}}&=\color{#ec0000}{\dfrac{\color{black}{161{,}7\times 343}}{27}}\\V&\approx2\ 054{,}19\ \text{cm}^3\end{align}||Réponse : Le volume de l’octaèdre orange est de |2\ 054{,}19\ \text{cm}^3.|
Dans l’exemple précédent, la valeur de |k^3| utilisée pour calculer le volume de l’octaèdre orange indique qu’il s’agit d’un rapport de réduction |\left(0<\dfrac{27}{343}<1\right).| Puisque l’octaèdre orange est plus gros que l’octaèdre bleu pâle, il aurait aussi été possible d’utiliser l'inverse de |\dfrac{27}{343}| afin d’utiliser un rapport d’agrandissement. La démarche aurait alors été la suivante.||\begin{align}\dfrac{1}{k^3}&=\dfrac{\color{#fa7921}{\text{Volume de l'octaèdre initial}}}{\color{#51b6c2}{\text{Volume de l'octaèdre image}}}\\\dfrac{343}{27}&=\dfrac{\color{#fa7921}V}{\color{#51b6c2}{161{,}7}}\\343\times161{,}7&=V\times27\\\color{#ec0000}{\dfrac{\color{black}{343\times161{,}7}}{27}}&=\color{#ec0000}{\dfrac{\color{black}{V\times27}}{27}}\\2\ 054{,}19\ \text{cm}^3&\approx V\end{align}||