L’ensemble des nombres irrationnels, représenté par |\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}| ou |\mathbb{Q'},| regroupe tous les nombres qui ne sont pas un rapport de 2 entiers.
Ces nombres ont un développement décimal infini et non périodique.
Seuls les nombres rationnels |(\mathbb{Q}),| c'est-à-dire les nombres qui peuvent s'exprimer sous forme d'une fraction de nombres entiers, ont un développement décimal fini ou un développement décimal infini et périodique. Au contraire, les nombres irrationnels ont un développement décimal infini et non périodique.
Le développement décimal fini
Le nombre |\dfrac{7}{4}| est rationnel. En effectuant la division du numérateur par le dénominateur de cette fraction, on obtient le nombre décimal |1{,}75.|
Le développement décimal de ce nombre se termine à |5.| On dit donc que |\dfrac{7}{4}| a un développement décimal fini.||\dfrac{7}{4}=1{,}75||
Le développement décimal infini et périodique
Le nombre |\dfrac{58}{11}| est rationnel. En effectuant la division du numérateur par le dénominateur de cette fraction, on obtient le nombre décimal |5{,}272\,727\,272\dots|
Le développement décimal de ce nombre est composé des chiffres |2| et |7,| qui se répètent à l’infini. Il s’agit de la période. On dit donc que |\dfrac{58}{11}| a un développement décimal infini et périodique.||\dfrac{58}{11}=5{,}\overline{27}||
Le développement décimal infini et non périodique
Le nombre |\pi| est irrationnel. Autrement dit, il n’existe aucune fraction qui donne une valeur exacte de |\pi| lorsqu’on divise le numérateur par le dénominateur. Sa valeur, en notation décimale, est |3{,}141\,592\,653\dots|
Le développement décimal de ce nombre ne contient pas de chiffres qui se répètent et il ne se termine jamais. On dit donc que |\pi| a un développement décimal infini et non périodique.||\pi\approx 3{,}141\,592\,653\dots||
L'ensemble des nombres irrationnels, noté |\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}| ou |\mathbb{Q'},| et l'ensemble des nombres rationnels, noté |\mathbb{Q},| sont mutuellement exclusifs, c'est-à-dire qu'un nombre ne peut pas être à la fois un nombre rationnel et un nombre irrationnel. On peut utiliser la notation suivante pour représenter la relation entre ces ensembles.||\mathbb{Q}\cap\mathbb{Q'}=\varnothing||Voici la façon de le lire : « l'intersection de l'ensemble des nombres rationnels et des nombres irrationnels correspond à l'ensemble vide ».
De plus, lorsqu’on réunit l’ensemble des nombres rationnels avec celui des nombres irrationnels, on obtient l’ensemble des nombres réels.
||\mathbb{Q}\cup\mathbb{Q'}=\mathbb{R}||
Voici la façon de le lire : « l’union des rationnels et des irrationnels correspond à l'ensemble des nombres réels ». En d’autres mots, l’ensemble des nombres rationnels et celui des nombres irrationnels sont complémentaires.
Voici un schéma qui montre l'emplacement des nombres irrationnels dans l'ensemble des nombres réels.
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Le nombre |\pi,| le nombre d’Euler |(e)| et le nombre d’or |(\varphi)| sont des nombres irrationnels, car leur développement décimal est infini et non périodique. ||\begin{align}\pi&\approx 3{,}141\,592\,653\dots\\ e&\approx 2{,}718\,281\,828\dots\\ \varphi&\approx 1{,}618\,033\,988\dots\end{align}||
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Les nombres |\sqrt{5}| et |-\sqrt[3]{12}| sont des nombres irrationnels, car ils ne peuvent pas être exprimés sous la forme d’une fraction de nombres entiers.
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Le nombre |-\sqrt{16}| n’est pas un nombre irrationnel; il fait plutôt partie de l’ensemble des nombres entiers, car il correspond au nombre |-4.|
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Le nombre |\sqrt{5{,}76}| n’est pas irrationnel; il fait plutôt partie de l’ensemble des nombres rationnels, car il correspond au nombre |2{,}4.|
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Le nombre |3{,}456\,456\,456\dots| n'est pas un nombre irrationnel. En effet, on observe une période dans ce nombre : les chiffres |456| se répètent. Comme il contient une période, |3{,}\overline{456}| est un nombre rationnel et peut s'exprimer sous la forme d'une fraction.
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En utilisant la notation appropriée, on écrit ceci.||\begin{align}\sqrt{5}&\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}\\ 3{,}\overline{456}&\notin\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}\end{align}||
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On note |(\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q})_+| ou |\mathbb{Q}'_{\,+}| l’ensemble des nombres irrationnels positifs.
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On note |(\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q})_-| ou |\mathbb{Q}'_{\,-}| l’ensemble des nombres irrationnels négatifs.
Pour ordonner des nombres irrationnels, il est utile de les transformer en notation décimale.