Trouver les mesures manquantes dans des figures planes à l'aide d'une équation de degré 2

1. Construire une équation à partir du contexte

On utilise la formule du périmètre d’un triangle.||\begin{align}​P&= \text{Somme de tous les côtés} \\ 100 &= x + (x+1)^2 + (x+1)^2 \\ 100 &= x + x^2+2x + 1 +x^2 + 2x + 1\\ 100 &= 2x^2 +5x+2 \end{align}||

2. Résoudre l'équation

Comme il s’agit d’une équation de degré 2, on met tous les termes du même côté de l’égalité pour pouvoir la résoudre à l’aide de la formule quadratique.||\begin{align}100&=2x^2+5x+2\\0&=2x^2+5x-98\\\\x&=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\&=\dfrac{-(5)\pm\sqrt{(5)^2-4(2)(-98)}}{2(2)} \\&=\dfrac{-5\pm\sqrt{809}}{4}\end{align}\\\begin{aligned}\\x_1&=\dfrac{-5-\sqrt{809}}{4}&x_2&=\dfrac{-5+\sqrt{809}}{4}\\x_1&\approx-8{,}36&x_2&\approx5{,}86\end{aligned}||​Puisqu’on cherche une longueur, on rejette |x_1\approx-8{,}36,| car sa valeur est négative. Ainsi, on a |x\approx5{,}86\ \text{cm}.|

1. Construire une équation à partir du contexte
   On utilise la formule de l’aire d’un rectangle.||\begin{align}A&=b\times h \\ 15&=(2x+7)(x+3)\\ 15&=2x^2+6x+7x+21\\ 15&=2x^2+13x+21\end{align}||

2. Résoudre l'équation
   Comme il s’agit d’une équation de degré 2, on met tous les termes du même côté pour pouvoir la résoudre. On peut utiliser la technique du produit-somme pour y arriver.||\begin{align}15&=2x^2+13x+21\\0&=2x^2+13x+6\end{align}||On cherche 2 nombres dont le produit est |2\times 6 = 12| et dont la somme est |13.| Ces nombres sont |1| et |12.|||\begin{align}0&=2x^2+\color{#3a9a38}{13x}+6\\0&=2x^2+\color{#3a9a38}{x+12x}+6\\ 0&=x(2x+1)+6(2x+1)\\ 0&=(2x+1)(x+6) \end{align}\\ \begin{aligned}\\0&=2x+1&0&=x+6\\-1&=2x&-6&=x_2\\-0{,}5&=x_1\end{aligned}||On doit rejeter |x_2=-6,| car cette valeur de |x| impliquerait que la mesure des côtés du rectangle soit négative, ce qui est impossible.

1. Construire un système d'équations à partir du contexte

Comme on a 2 inconnues, on doit faire 2 équations. Pour y arriver, on utilise le périmètre et l’aire du triangle.

2. Résoudre le système d’équations

On peut isoler |y| dans la 1^re équation et le substituer dans la 2^e équation.||\begin{align} 22{,}4&=x+y\\22{,}4-x&=y\\\\122{,}88&=x\times \color{#ec0000}y\\122{,}88&=x\times \color{#ec0000}{(22{,}4-x)}\\122{,}88&=22{,}4x-x^2\\ 0&=-x^2+22{,}4x-122{,}88\end{align}||Comme il s’agit d’une équation de degré 2, on utilise la formule quadratique pour la résoudre.||\begin{align}x&=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2a} \\&= \dfrac{-(22{,}4) \pm \sqrt{(22{,}4)^2-4(-1)(-122{,}88)}}{2(-1)}\\&=\dfrac{-22{,}4\pm \sqrt{10{,}24}}{-2}\end{align}\\\begin{aligned}\\x_1&=\dfrac{-22{,}4- \sqrt{10{,}24}}{-2}& x_2&=\dfrac{-22{,}4+ \sqrt{10{,}24}}{-2}\\ &= 12{,}8 &&= 9{,}6\end{aligned}||Les 2 valeurs sont valides. Elles représentent respectivement la mesure des cathètes. On suppose que |x| est la petite cathète, alors |x=9{,}6\ \text{cm}| et |y=12{,}8\ \text{cm}.|

1. Construire une équation à partir du contexte

On utilise l’aire totale d’une figure décomposable pour construire l’équation. La figure est composée d’un demi-disque et d’un rectangle. On trouve ainsi l’équation suivante.||\begin{align} A_\text{totale} &= A_\text{rectangle} + A_\text{demi-disque}\\A_\text{totale} &= bh + \dfrac{\pi r^2}{2}\\ 84{,}55 &=\color{#3b87cd}x (\color{#ff55c3}{x+3}) + \dfrac{\pi \left(\dfrac{\color{#3a9a38}{3x}}{2}\right)^2}{2}\\ 84{,}55 &\approx x^2+3x+3{,}53x^2\\84{,}55&\approx4{,}53x^2+3x \end{align}||

2. ​Résoudre l’équation

Comme il s’agit d’une équation de degré 2, on met tous les termes du même côté pour pouvoir la résoudre à l’aide de la formule quadratique.||\begin{align}84{,}55&\approx4{,}53x^2+3x\\ 0&\approx4{,}53x^2+3x-84{,}55\\\\x&=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2a} \\&= \dfrac{-(3) \pm \sqrt{(3)^2-4(4{,}53)(-84{,}55)}}{2(4{,}53)}\\&=\dfrac{-3\pm \sqrt{1\ 541{,}046}}{9{,}06}\end{align}\\ \begin{aligned}\\x_1&=\dfrac{-3- \sqrt{1\ 541{,}046}}{9{,}06}& x_2&=\dfrac{-3+ \sqrt{1\ 541{,}046}}{9{,}06}\\ &\approx -4{,}66 &&\approx 4\end{aligned}||Puisqu'on cherche une longueur, on rejette |x_1\approx-4{,}66,| car la valeur est négative. Ainsi, on a |x\approx 4\ \text{dm}.|

3. Répondre à la question

1. Construire un système d’équations à partir du contexte

Puisqu’on a 2 informations à propos de l’aire, il est possible de former 2 équations.

2. Résoudre le système d'équations

Pour résoudre ce système d’équations, on peut multiplier la 2^e équation par |2| et faire une réduction.||\begin{align}\color{#ec0000}{2\times \big(}276&=18x+4y\color{#ec0000}{\big)}\\552&=36x+8y\end{align}||On soustrait la 2^e équation de la 1^re.||\begin{align}506&=\pi x^2\ \ \phantom{+36x} +8y\\ -\ (552&=\ \ \phantom{\pi x^2+} 36x+8y)\\\hline-46&=\pi x^2-36x+0y\end{align}||On utilise la formule quadratique pour résoudre cette équation de degré 2.

||\begin{align}-46&=\pi x^2-36x\\ 0&=\pi x^2-36x+46\\\\x&=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2a} \\&= \dfrac{-(-36) \pm \sqrt{(-36)^2-4(\pi)(46)}}{2\pi}\\&\approx\dfrac{36\pm \sqrt{717{,}95}}{6{,}28}\end{align}\\\begin{aligned}\\x_1&\approx\dfrac{36- \sqrt{717{,}95}}{6{,}28}& x_2&\approx\dfrac{36+ \sqrt{717{,}95}}{6{,}28}\\ &\approx 1{,}47 &&\approx 10\end{aligned}||

Les 2 réponses trouvées répondent aux critères. Pour la suite du problème, on choisit |\color{#3b87cd}{x_2 \approx 10}| pour que l’allure du cornet soit plus réaliste. On peut ensuite déterminer la valeur de |y| en remplaçant |x| par |10| dans une des équations précédentes.||\begin{align}276 &= 18\color{#3b87cd}x + 4y\\ 276 &= 18(\color{#3b87cd}{10}) + 4y \\276&=180+4y\\96&=4y\\ 24​&=y\end{align}||

3. Répondre à la question