Résoudre une équation ou une inéquation trigonométrique

Pour répondre à ces 4 sous-questions, on pourrait avoir tendance à commencer par résoudre l’équation |\cos(x)= \dfrac{2}{3}| afin de trouver la valeur de |x,| puis remplacer cette valeur dans chaque expression. Toutefois, ce n’est pas nécessaire.

a) On sait que |\sec(x)| est l’inverse de |\cos(x).| ||\sec(x)= \dfrac{1}{\cos(x)}||
Pour trouver la valeur de |\sec(x),| il suffit donc de remplacer |\cos(x)| par |\dfrac{2}{3}.|
||\begin{align}\sec(x)&= \dfrac{1}{\cos(x)}\\ &= \dfrac{1}{\frac{\large2}{\large3}}\\ &= \dfrac{3}{2}\end{align}||

b) Pour trouver la valeur de |\sin(x)| à partir de |\cos(x),| on peut utiliser la 1^re identité pythagoricienne : |\cos^2(x)+ \sin^2(x)=1.| On remplace |\cos(x)| par sa valeur, soit |\dfrac{2}{3},| puis on isole |\sin(x).|
||\begin{align}\cos^2(x)+ \sin^2(x)&=1\\ \left(\dfrac{2}{3}\right)^{\!2}+\sin^2(x)&=1\\ \dfrac{4}{9}+\sin^2(x)&=1\\ \sin^2(x)&=\dfrac{5}{9}\\ \sin(x)&=\sqrt{\dfrac{5}{9}}\\ \sin(x)&= \pm\dfrac{\sqrt5}{3}\end{align}||Il y a donc 2 solutions possibles pour |\sin(x),| soit |x=\dfrac{\sqrt5}{3}| et |x=-\dfrac{\sqrt5}{3}.| Toutefois, dans l’énoncé, il est précisé que |x| est un angle compris entre |0| et |\dfrac{\pi}{2},| ce qui signifie qu’il se situe dans le 1^er quadrant du cercle trigonométrique. Dans ce quadrant, les rapports trigonométriques sont positifs. La solution est donc |\sin(x)=\dfrac{\sqrt5}{3}.|

c) Pour trouver la valeur de |\text{cotan}(x),| on utilise la définition : |\text{cotan}(x)= \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}.| Il suffit de remplacer |\cos(x)| par |\dfrac{2}{3}| et |\sin(x)| par |\dfrac{\sqrt5}{3},| qu’on vient de calculer. 
||\begin{align}\text{cotan}(x) &= \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}\\ &=\dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{\sqrt5}{3}}\\&=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{3}{\sqrt5}\\ &=\dfrac{2}{\sqrt5}\end{align}||Finalement, pour donner une solution qui respecte les normes mathématiques, il faut rationaliser la fraction.||\begin{align}\text{cotan}(x)&=\dfrac{2\ \boldsymbol{\color{#3a9a38}{(\sqrt{5})}}}{\sqrt{5}\ \boldsymbol{\color{#3a9a38}{(\sqrt{5})}}}\\&=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\end{align}||

d) Pour trouver la valeur de |\tan(-x),| on utilise la définition |\tan(-x)= \dfrac{\sin(-x)}{\cos(-x)}.|
Ensuite, on utilise les identités trigonométriques de base |\cos(-x)=\cos(x)| et |\sin(-x)=-\sin(x).|
||\begin{align}\tan(-x) &= \dfrac{\sin(-x)}{\cos(-x)}\\[3pt] &=\dfrac{-\sin(x)}{\cos(x)}\end{align}||Maintenant, on remplace |\cos(x)| par |\dfrac{2}{3}| et |\sin(x)| par |\dfrac{\sqrt5}{3},| qu’on a calculés à la sous-question b).||\begin{align}\tan(-x)&=\dfrac{-\sin(x)}{\cos(x)}\\[3pt]&=\dfrac{-\dfrac{\sqrt5}{3}}{\dfrac{2}{3}}\\[3pt]&=-\dfrac{\sqrt5}{3}\times\dfrac{3}{2}\\[3pt]&=-\dfrac{\sqrt5}{2}\end{align}||

1. Utiliser les identités trigonométriques pythagoriciennes
   
   En utilisant l’identité |1+\tan^2(x)=\sec^2(x),| il est possible de remplacer |\tan^2(x)| par |\sec^2(x)-1.|

||\begin{align}\boldsymbol{\color{#3b87cd}{\tan^2(x)}}-3\sec(x)\tan(x)-\sec^2(x)&=-1\\[3pt] \boldsymbol{\color{#3b87cd}{\sec^2(x)-1}}-3\sec(x)\tan(x)-\sec^2(x)&=-1\\[3pt] -3\sec(x)\tan(x)&=0\\[3pt] \sec(x)\tan(x)&=0 \end{align}||

2. Utiliser les définitions des rapports trigonométriques
   
   Cela permet de réécrire toute l’équation en sinus et en cosinus.||\begin{align}\sec(x)\tan(x)&=0\\ \dfrac{1}{\cos(x)} \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}&=0\\ \dfrac{\sin(x)}{\cos^2(x)}&=0 \end{align}||

3. Poser les restrictions
   
   Dès qu’il y a des fractions, il faut s’assurer que chaque dénominateur soit différent de |0.| ||\begin{alignat}{1} \cos^2(&x)&&\ne 0\\ &\!\!\Downarrow\\ \cos(&x)&&\ne 0\\ &\!\!\Downarrow\\[-20pt] &x &&\ne \left\lbrace\dots,\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2},\dots\right\rbrace \end{alignat}||

4. Utiliser le cercle trigonométrique pour déterminer les solutions

Réponse : Les solutions de l’équation |\tan^2(x)-3\sec(x)\tan(x)-\sec^2(x)=-1| sont les suivantes. ||x\in\{\dots,\,0,\,\pi,\,2\pi\dots\}||

Remarque : On a commencé par les identités pythagoriciennes au lieu des définitions des rapports trigonométriques, mais faire le contraire aurait très bien fonctionné.

1. ​​​​​Utiliser les identités trigonométriques d’une somme ou d’une différence
   
   On utilise d’abord l’identité |\cos(2A)=\cos^2(A)-\sin^2 (A).|

||\begin{align}2\sin^2(x)+\boldsymbol{\color{#3b87cd}{\cos(2x)}}+1&=0\\ 2\sin^2(x)+\boldsymbol{\color{#3b87cd}{\cos^2(x)-\sin^2(x)}}+1&=0\\ \sin^2(x)+\cos^2(x)+1&=0\end{align}||

2. Utiliser les identités trigonométriques pythagoriciennes||\begin{align}\boldsymbol{\color{#3b87cd}{\sin^2(x)+\cos^2(x)}}+1&=0\\ \boldsymbol{\color{#3b87cd}{1}}+1&=0\\ 2&=0\end{align}||On obtient une égalité qui est fausse. Cela signifie que l’équation de départ n’a pas de solutions.

Réponse : L’équation |2\sin^2(x)+\cos(2x)+1=0| n’a pas de solutions.

Remarque : Quand on obtient plutôt une égalité évidente comme |0=0,| cela signifie que l’équation a une infinité de solutions, c’est-à-dire que n’importe quelle valeur réelle de |x| est une solution de l’équation de départ.

1. Utiliser la factorisation afin de ramener l’équation sous la forme d’un produit de facteurs égal à |\boldsymbol{0}|
   
   ​​​​​On soustrait |2 \cos(x)| de chaque côté de l'égalité.||\sin(x)\cos(x) - 2\cos(x)= 0||On effectue une mise en évidence simple de |\cos(x).| ||\cos(x)\Big(\!\sin(x) - 2\Big) =0||Attention! On pourrait avoir le réflexe de diviser les 2 côtés de l’équation par |\cos(x)| afin de la simplifier, mais c’est à éviter. En effet, cela changerait le degré de l’équation, ce qui aurait pour conséquence d’éliminer des solutions.

2. Appliquer la règle du produit nul
   
   Le produit est égal à |0| si |\cos(x)=0| ou si |\sin(x)-2=0.| On se retrouve donc avec 2 équations à résoudre.

Réponse : Les solutions de l’équation |\sin(x)\cos(x)=2\cos(x)| sont les suivantes.

||x\in\left\lbrace \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n,\ \dfrac{3\pi}{2} + 2 \pi n \right\rbrace||où |n\in\mathbb{Z}|

1. Utiliser la factorisation afin de ramener l’équation sous la forme d’un produit de facteurs égal à |\boldsymbol{0}|

​​​On rapporte les termes du même côté de l’égalité.

||\begin{align}15\sin(x)\cos(x)-2&=5\sin(x)-6\cos(x)\\15\sin(x)\cos(x)-5\sin(x)+6\cos(x)-2&=0\end{align}||

On effectue une mise en évidence double.

||\begin{align}15\sin(x)\cos(x)-5\sin(x)+6\cos(x)-2&=0\\ 5\sin(x)\big(3\cos(x)-1\big)+2\big(3\cos(x)-1\big)&=0\\ \big(3\cos(x)-1\big)\big(5\sin(x)+2\big)&=0\end{align}||

2. Appliquer la règle du produit nul

Le produit est égal à |0| si l’un ou l’autre des 2 facteurs est égal à |0.| On se retrouve donc avec 2 équations à résoudre.

Réponse : Les solutions de l’équation |15\sin(x)\cos(x)-2=5\sin(x)-6\cos(x)| sont les suivantes.

||x\in\left\lbrace -1{,}23+2\pi n;\, -0{,}41+2\pi n;\, 1{,}23+2\pi n;\, 3{,}55+2\pi n\right\rbrace||où |n\in\mathbb{Z}|

1. Utiliser les définitions des rapports trigonométriques

Cela permet de réécrire toute l’équation en sinus et en cosinus.||\begin{alignat}{13} 3\tan(x)&+\text{cotan}(x)&&=5\text{ cosec}(x)\\[3pt] 3\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}&+\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}&&=\dfrac{5}{\sin(x)} \end{alignat}||

2. Poser les restrictions

Dès qu’il y a des fractions, il faut s’assurer que chaque dénominateur soit différent de |0.|

En résumé, |x| doit être différent de |\left\{\dots,\,0,\,\dfrac{\pi}{2},\,\pi,\,\dfrac{3\pi}{2},\,2\pi,\,\dots\right\}.|

3. Réécrire les fractions à l’aide d’un dénominateur commun

Pour trouver le dénominateur commun, on peut multiplier les dénominateurs ensemble. Ainsi, le dénominateur commun est |\cos(x)\sin(x).| Il faut donc multiplier la 1^re fraction par |\dfrac{\sin(x)}{\sin(x)}| et les 2 autres par |\dfrac{\cos(x)}{\cos(x)}.|

||\begin{align}\dfrac{3\sin(x)}{\cos(x)}+\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}&=\dfrac{5}{\sin(x)}\\[3pt]\dfrac{3\sin(x)}{\cos(x)}\times\dfrac{\sin(x)}{\sin(x)}+\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}\times\dfrac{\cos(x)}{\cos(x)}&=\dfrac{5}{\sin(x)}\times\dfrac{\cos(x)}{\cos(x)}\\[3pt]\dfrac{3\sin^2(x)}{\cos(x)\sin(x)}+\dfrac{\cos^2(x)}{\cos(x)\sin(x)}&=\dfrac{5\cos(x)}{\cos(x)\sin(x)}\end{align}||

En multipliant les 2 côtés de l'égalité précédente par |\cos(x)\sin(x),| on obtient l’équation suivante. ||3\sin^2(x) + \cos^2(x) = 5\cos(x)||

4. Utiliser les identités trigonométriques pythagoriciennes

En utilisant l’identité |\cos^2(x) + \sin^2(x)=1,| il est possible de remplacer |\sin^2(x)| par |1-\cos^2(x).| ||\begin{align} 3\boldsymbol{\color{#3b87cd}{\sin^2(x)}}+ \cos^2(x) &= 5\cos(x)\\ 3\!\boldsymbol{\color{#3b87cd}{\left(1-\cos^2 (x)\right)}} + \cos^2(x) &= 5\cos(x)\end{align}||Il reste à simplifier l’équation et à rapporter tous les termes du même côté de l’égalité.||\begin{align} 3-3\cos^2 (x) + \cos^2(x) &= 5\cos(x) \\3-2\cos^2 (x)&=5\cos(x)\\3-2\cos^2(x) -5\cos(x)&=0\end{align}||

5. Faire un changement de variable

En posant |\cos(x)= z,| on obtient |-2z^2 -5z + 3=0.| On laisse donc temporairement de côté les rapports cosinus afin de se concentrer sur la résolution de l’équation de degré 2.

6. Utiliser la factorisation et appliquer la règle du produit nul

Il faut factoriser le trinôme |-2z^2 -5z + 3.| On peut appliquer la technique du produit-somme.

On cherche donc 2 nombres dont le produit est égal à |-2\times 3=-6| et dont la somme est égale à |-5.| Ces 2 nombres sont |1| et |-6.|

On réécrit le trinôme en décomposant le terme |-5z.| ||-2z^2 \boldsymbol{\color{#3b87cd}{-5z}} + 3\\-2z^2\boldsymbol{\color{#3b87cd}{+1z-6z}}+3||On effectue la mise en évidence double.||-2z^2+1z-6z+3\\ z(-2z+1)+3(-2z+1)\\(-2z+1)(z+3)||On applique la règle du produit nul. Cette expression algébrique est égale à |0| si |-2z+1=0| ou si |z+3=0.| ||\begin{align}\begin{aligned}-2z+1&=0\\-2z&=-1\\ z_1&=\dfrac{1}{2}\end{aligned}\qquad \begin{aligned}z+3&=0\\ z_2&=-3 \\ \phantom{\dfrac{1}{2}} \end{aligned}\end{align}||Les solutions de l’équation |-2z^2-5z+3=0| sont donc |z_1=\dfrac{1}{2}| et |z_2=-3.| Puisqu’on a fait un changement de variable, on peut substituer |z| par |\cos(x).| On obtient alors 2 nouvelles équations : |\cos(x)=\dfrac{1}{2}| et |\cos(x)=-3.|

L’équation |\cos(x)=-3| n’a aucune solution, car le cosinus d’un angle doit toujours être compris entre |-1| et |1| inclusivement. Or, |-3\not\in[-1,1].|

Ainsi, il ne reste que l’équation |\cos(x) = \dfrac{1}{2}| à résoudre.

7. Utiliser le cercle trigonométrique pour déterminer les solutions

8. Calculer la période et donner les solutions

Comme on a trouvé nos angles trigonométriques à partir d’une fonction cosinus avec |b=1,| on utilise la période de base des fonctions sinusoïdales qui est de |2\pi.|

Réponse : Les solutions de l’équation |3\tan(x)+\text{cotan}(x)=5\,\text{cosec}(x)| sont les suivantes.

|x\in\left\lbrace \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n, \dfrac{5\pi}{3} + 2\pi n \right\rbrace| où |n\in\mathbb{Z}|

1. Changer le symbole d’inégalité par un symbole d’égalité

||\begin{align}2\tan(x)+4\sec(x)&\le 3\sin(x)+6\\ &\downarrow\\ 2\tan(x)+4\sec(x)&=  3\sin(x)+6\end{align}||

2. Utiliser les définitions des rapports trigonométriques

Cela permet de réécrire toute l’équation en sinus et en cosinus.||\begin{align} 2\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}+4\dfrac{1}{\cos(x)}&= 3\sin(x)+6\\[3pt]\dfrac{2\sin(x)+4}{\cos(x)}&= 3\sin(x)+6\end{align}||

3. Poser les restrictions

Dès qu’il y a des fractions, il faut s’assurer que chaque dénominateur soit différent de |0.| ||\begin{alignat}{13} \cos&(x)&&\ne0\\[3pt]&\,\Downarrow\\ &\ \ x&&\ne\left\{\dots,\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2},\dots\right\}\end{alignat}||

4. Utiliser la factorisation afin de ramener l’équation sous la forme d’un produit de facteurs égal à |\boldsymbol{0}|

On multiplie les 2 côtés de l’égalité par |\cos(x).| On obtient l’équation suivante.||2\sin(x)+4= 3\sin(x)\cos(x)+6\cos(x)||On soustrait |2\sin(x)+4| des 2 côtés.||0= 3\sin(x)\cos(x)+6\cos(x)-2\sin(x)-4||On fait une mise en évidence double.||\begin{align}0&= 3\sin(x)\cos(x)+6\cos(x)-2\sin(x)-4\\ 0&= 3\cos(x)\big(\!\sin(x)+2\big)-2\big(\!\sin(x)+2\big)\\ 0&=\big(\!\sin(x)+2\big)\big(3\cos(x)-2\big)\end{align}||

5. Appliquer la règle du produit nul

Le produit est égal à |0| si |\sin(x)+2=0| ou si |3\cos(x)-2=0.| On se retrouve donc avec 2 équations à résoudre.

6. Donner l’ensemble-solution de l’inéquation

Pour déterminer les intervalles qui font partie de l’ensemble-solution, on place les solutions de l’équation qu’on a trouvées à l’étape 5 de même que les restrictions qu’on a trouvées à l’étape 3 sur une droite numérique.

En ordre croissant, on a d’abord la valeur |x_2=-0{,}84.| Ensuite, on a la valeur |x_1=0{,}84.| Puis, on a une restriction à |x=\dfrac{\pi}{2}\approx 1{,}57| et une autre à |x=\dfrac{3\pi}{2}\approx 4{,}71.| Enfin, on retrouve une valeur équivalente à |x_2,| mais une période plus loin : |x_3\approx -0{,}84+2\pi\approx 5{,}44.|

Il y a donc 4 intervalles possibles, soit celui entre |-0{,}84| et |0{,}84,| celui entre |0{,}84| et |\dfrac{\pi}{2},| celui entre |\dfrac{\pi}{2}| et |\dfrac{3\pi}{2},| et celui entre |\dfrac{3\pi}{2}| et |5{,}44.| Pour déterminer les intervalles qui font partie de l’ensemble-solution, on peut tester une valeur de |x| dans chaque intervalle.

Remarque : Puisque le signe d'inégalité est |\le,| les bornes de l’intervalle sont incluses dans l’ensemble-solution. Par contre, les restrictions ne le sont pas.

Réponse : Puisque les bornes des intervalles se répètent à chaque période |(2\pi),| l’ensemble-solution de l’inéquation |2\tan(x)+4\sec(x)\le 3\sin(x)+6| est le suivant.

||x\in\Big[-0{,}84+2\pi n;\ 0{,}84+2\pi n\Big]\ \cup\ \left]\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\dfrac{3\pi}{2}+2\pi n\right[||où |n\in\mathbb{Z}|

1. Changer le symbole d’inégalité par un symbole d’égalité

||\begin{align}2\cos^2(x)&<1-\sin(x)\\ &\downarrow\\ 2\cos^2(x)&=1-\sin(x)\end{align}||

2. Utiliser les identités trigonométriques pythagoriciennes

En utilisant l’identité |\cos^2(x) + \sin^2(x)=1,| il est possible de remplacer |\cos^2(x)| par |1-\sin^2(x).| ||\begin{align}2\boldsymbol{\color{#3b87cd}{\cos^2(x)}}&=1-\sin(x)\\2\left(\boldsymbol{\color{#3b87cd}{1-\sin^2(x)}}\right)&=1-\sin(x)\\ 2-2\sin^2(x)&=1-\sin(x)\\ 0&=2\sin^2(x)-\sin(x)-1\end{align}||

3. Faire un changement de variable

En posant |\sin(x)= z,| on obtient |2z^2 -z -1=0.| On laisse donc temporairement de côté les rapports sinus afin de se concentrer sur la résolution de l’équation de degré 2.

4. Utiliser la factorisation et appliquer la règle du produit nul

Il faut factoriser le trinôme |2z^2 -z -1.| On peut appliquer la technique du produit-somme. On cherche donc 2 nombres dont le produit est égal à |2\times -1=-2| et dont la somme est égale à |-1.| Ces 2 nombres sont |1| et |-2.|

On réécrit le trinôme en décomposant le terme |-z.| ||2z^2 \boldsymbol{\color{#3b87cd}{-z}}-1\\ 2z^2\boldsymbol{\color{#3b87cd}{-2z+z}}-1||On effectue la mise en évidence double.||2z^2-2z+z-1\\2z(z-1)+1(z-1)\\(z-1)(2z+1)||On applique la règle du produit nul. Cette expression algébrique est égale à |0| si |z-1=0| ou si |2z+1=0.| ||\begin{align}\begin{aligned}z-1&=0\\z_1&=1\\ \phantom{\dfrac{1}{2}}\end{aligned}\qquad \begin{aligned}2z+1&=0\\ 2z&=-1\\ z_2&=-\dfrac{1}{2} \end{aligned}\end{align}||Les solutions de l’équation |2z^2-z-1=0| sont donc |z_1=1| et |z_2=-\dfrac{1}{2}.| Puisqu’on a fait un changement de variable, on peut substituer |z| par |\sin(x).| On obtient alors 2 nouvelles équations : |\sin(x)=1| et |\sin(x)=-\dfrac{1}{2}.|

5. Utiliser le cercle trigonométrique pour déterminer les solutions

6. Donner l’ensemble-solution de l’inéquation

Il y a 3 intervalles possibles, soit celui entre |\boldsymbol{\color{#ff55c3}{\dfrac{\pi}{2}}}| et |\boldsymbol{\color{#fa7921}{\dfrac{7\pi}{6}}},| celui entre |\boldsymbol{\color{#fa7921}{\dfrac{7\pi}{6}}}| et |\boldsymbol{\color{#51b6c2}{\dfrac{11\pi}{6}}},| et celui entre |\boldsymbol{\color{#51b6c2}{\dfrac{11\pi}{6}}}| et la valeur qui est une période plus loin que |\boldsymbol{\color{#ff55c3}{\dfrac{\pi}{2}}}.| Pour déterminer les intervalles qui font partie de l’ensemble-solution, on peut utiliser le graphique ou tester une valeur de |x| dans chaque intervalle.

Remarque : Puisque le signe d'inégalité est |<,| les bornes de l’intervalle ne sont pas incluses dans l’ensemble-solution.

Réponse : Puisque les bornes des intervalles se répètent à chaque période |(2\pi),| l’ensemble-solution de l’inéquation |2\cos^2(x)<1-\sin(x)| est le suivant.

||x\in \left]\dfrac{7\pi}{6}+2\pi n,\dfrac{11\pi}{6}+2\pi n\right[||où |n\in\mathbb{Z}|