Dans certains problèmes, il arrive que l'on connaisse le volume d'un solide ainsi que toutes ses mesures, sauf une. Il faut donc savoir trouver une mesure manquante.
La procédure à suivre pour trouver une mesure manquante dans un solide est généralement la même peu importe son type. Voici les principales étapes.
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Identifier les mesures données.
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Déterminer la formule à utiliser.
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Remplacer les variables par les mesures données.
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Isoler la variable recherchée.
Afin de passer le temps durant les pauses à ton école, tu gardes toujours un Cube Rubik dans ton sac à dos. Or, avec tout ce que tu dois mettre dans ton sac, il te reste un espace disponible de seulement 226,981 cm3.
Quelle devrait être la mesure maximale des arêtes du Cube Rubik afin que tu puisses le ranger dans ton sac à dos?
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Identifier les mesures données
La seule mesure qui est donnée, c’est le volume du cube. ||V=226{,}981\ \text{cm}^3|| -
Déterminer la formule à utiliser
Puisqu'il est question du volume d’un cube, on utilise : ||V=\color{#3a9a38}{c}^3|| -
Remplacer les variables par les mesures données ||226{,}981 = \color{#3a9a38}{c}^3||
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Isoler la variable recherchée ||\begin{align} \color{#ec0000}{\sqrt[3]{\color{black}{226{,}891}}} &= \color{#ec0000}{\sqrt[3]{\color{#3a9a38}{c}^{\color{black}{3}}}} \\ 6{,}1 \ \text{cm} &\approx \color{#3a9a38}{c}\end{align}||
Réponse : La mesure maximale d'une arête de ce cube doit être de |6{,}1\ \text{cm}.|
En tant que camionneur, Bobby doit s'assurer que les routes qu'il emprunte sont suffisamment dégagées en hauteur afin de ne pas abimer son camion et la marchandise qu'il transporte. Alors qu’il est sur la route pour sa prochaine livraison, il aperçoit le panneau suivant.
Connaissant seulement le volume de la section d'entreposage de son camion, Bobby s'arrête sur le bord de la route afin de vérifier que son camion n'est pas trop haut pour passer sous la prochaine passerelle.
Comme il lui est impossible d'atteindre le dessus de son camion, quels calculs doit-il faire pour déterminer la hauteur de son véhicule?
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Identifier les mesures données
Longueur de la base : |\color{#3b87cd}{L = 15{,}9\ \text{m}}|
Largeur de la base : |\color{#3a9a38}{l= 3\ \text{m}}|
Hauteur des roues : |\color{#560fa5}{h_\text{roues}= 0{,}85\ \text{m}}|
Volume d’entreposage : |V=162{,}18\ \text{m}^3| -
Déterminer la formule à utiliser
Puisqu'il est question du volume, on utilise : ||\begin{align} V &= A_b \times \color{#ec0000}{h} \\ &=(\color{#3a9a38}{l} \times \color{#3b87cd}{L}) \times \color{#ec0000}{h} \end{align}|| -
Remplacer les variables par les mesures données ||162{,}18 =(\color{#3a9a38}{3} \times \color{#3b87cd}{15{,}9}) \times \color{#ec0000}{h}||
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Isoler la variable recherchée ||\begin{align} \color{#ec0000}{\dfrac{\color{black}{162{,}18}}{47{,}7}} &= \color{#ec0000}{\dfrac{\color{black}{47{,}7 \times h}}{47{,}7}} \\ 3{,}4\ \text{m} &= h \end{align}||
Réponse : En additionnant la hauteur de la section d'entreposage à celle de la hauteur de cette section par rapport au sol, on obtient |\color{#ec0000}{3{,}4} + \color{#560fa5}{0{,}85} = 4{,}25 \ \text{m}.| Ainsi, il ne pourra pas passer sous la passerelle, puisque son camion est plus haut que cette dernière |(4{,}25\ \text{m > }4{,}15\ \text{m}).|
Afin d'assurer l'efficacité des divers filtres à air, les usines de production doivent s'assurer que leurs cheminées ne contiennent pas plus de 385 m3 de déchets gazeux.
En se fiant aux plans de la bâtisse ci-dessus, quelle devrait être la hauteur minimale de la cheminée de forme cylindrique?
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Identifier les mesures données
Diamètre de la cheminée : |\color{#3a9a38}{d=3{,}4\ \text{m}}|
Volume de la cheminée : |V=385\ \text{m}^3| -
Déterminer la formule à utiliser
Puisqu'on fait référence au volume d'un cylindre, on utilise : ||\begin{align} V &= A_b \times h\\ &= \pi r^2 \times h \end{align}|| -
Remplacer les variables par les mesures données ||385 = \pi\left(\dfrac{\color{#3a9a38}{3{,}4}}{2}\right)^2 \times h||
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Isoler la variable recherchée ||\begin{align} \color{#ec0000}{\dfrac{\color{black}{385}}{2{,}89\pi}} &= \color{#ec0000}{\dfrac{\color{black}{2{,}89 \pi \times h}}{2{,}89\pi}}\\ 42{,}40 \ \text{m} &\approx h\end{align}||
Réponse : La cheminée doit avoir une hauteur minimale d'environ |42{,}40\ \text{m}.|
Pour prendre part à une partie de Bubble soccer, il faut revêtir un équipement assez particulier. En fait, les joueurs doivent porter une énorme bulle de protection sphérique qui leur permet d'entrer sécuritairement en contact avec les autres joueurs.
Le seul inconvénient est que les participants doivent être au moins aussi grands que la hauteur de cette bulle de protection. Sachant que le volume d'une bulle protectrice est de 1,44 m3, quelle doit être la taille minimale des participants?
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Identifier les mesures données
Volume d’une boule : |V=1{,}44\ \text{m}^3| -
Déterminer la formule à utiliser
Puisqu'on fait référence au volume d'une boule, on utilise la suivante. ||V = \dfrac{4 \pi r^3}{3}||Cette formule nous permet de trouver la mesure du rayon, qui est utile pour calculer la hauteur totale d’une boule. -
Remplacer les variables par les mesures données ||1{,}44 = \dfrac{4 \pi r^3}{3}||
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Isoler la variable recherchée ||\begin{align} 1{,}44 \color{#ec0000}{\times 3} &= \dfrac{4 \pi r^3}{3} \color{#ec0000}{\times 3} \\ \color{#ec0000}{\dfrac{\color{black}{4{,}32}}{4\pi}} &= \color{#ec0000}{\dfrac{\color{black}{4 \pi r^3}}{4\pi}} \\ \color{#ec0000}{\sqrt[3]{\color{black}{0{,}34}}} &\approx \color{#ec0000}{\sqrt[3]{\color{black}{r^3}}}\\ 0{,}70 \ \text{m} &\approx r\end{align}||
Puisque la hauteur d'une boule est équivalente à deux fois son rayon, on peut déduire que |\color{#3a9a38}{h} = 0{,}70\times 2 = 1{,}40\ \text{m}.|
Réponse : Les participants doivent mesurer au moins |1{,}40\ \text{m}.|
Sachant qu’il a fallu 2 592 341 m3 de pierre pour bâtir la pyramide de Khéops en Égypte et qu’il s’agit d’une pyramide régulière à base carrée de 230 m de côté, quelle est la hauteur de la pyramide?
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Identifier les mesures données
Côté de la base : |\color{#3a9a38}{c=230\ \text{m}}|
Volume : |V =2\ 592\ 341\ \text{m}^3| -
Déterminer la formule à utiliser
Dans le cas d’une pyramide, la formule pour calculer son volume est : ||\begin{align} V &= \dfrac{A_b \times h}{3}\\\\ &= \dfrac{\color{#3a9a38}{c}^2 \times h}{3}\end{align}|| -
Remplacer les variables par les mesures données ||2\ 592\ 341 = \dfrac{\color{#3a9a38}{230}^2 \times h}{3}||
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Isoler la variable recherchée ||\begin{align} 2\ 592\ 341\color{#ec0000}{\times 3} &= \dfrac{\color{#3a9a38}{230}^2 \times h}{3} \color{#ec0000}{\times 3} \\ \color{#ec0000}{\dfrac{\color{black}{7\ 777\ 023}}{52\ 900}} &= \color{#ec0000}{\dfrac{\color{black}{52\ 900 \times h}}{52\ 900}} \\ 147\ \text{m} &\approx h \end{align}||
Réponse : La pyramide de Khéops a une hauteur d’environ |147\ \text{m}.|
Afin de s'assurer de faire un bon profit, un propriétaire de restaurant veut déterminer le diamètre exact que devraient avoir les verres dans lesquels les boissons seront servies.
De façon générale, une consommation équivaut à 90 mL, soit 90 cm3. Si cette quantité est respectée, quel est le diamètre nécessaire des verres en considérant que l'épaisseur du verre est négligeable?
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Identifier les mesures données
Hauteur du cône : |\color{#ec0000}{h=7\ \text{cm}}|
Volume du verre : |V_\text{cône}=90\ \text{cm}^3| -
Déterminer la formule à utiliser
Dans le cas du cône, la formule pour calculer son volume est : ||\begin{align} V &= \dfrac{A_b \times \color{#ec0000}{h}}{3}\\\\ &= \dfrac{\pi r^2 \times \color{#ec0000}{h}}{3} \end{align}|| -
Remplacer les variables par les mesures données ||90 = \dfrac{\pi r^2 \times \color{#ec0000}{7}}{3}||
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Isoler la variable recherchée ||\begin{align} 90 \color{#ec0000}{\times 3} &= \dfrac{\pi r^2 \times 7}{3} \color{#ec0000}{\times 3} \\ \color{#ec0000}{\dfrac{\color{black}{270}}{7\pi}} &= \color{#ec0000}{\dfrac{\color{black}{7\pi r^2}}{7\pi}} \\ \color{#ec0000}{\sqrt{\color{black}{12{,}28}}} &\approx \color{#ec0000}{\sqrt{\color{black}{r^2}}}\\ 3{,}5 \ \text{cm} &\approx r \end{align}||
Puisqu'on cherche la mesure du diamètre, on doit multiplier la mesure du rayon par |2.| ||\begin{align} d &= 2 \times r \\ &= 2 \times 3{,}5\\ &= 7\ \text{cm} \end{align}||
Réponse : L’ouverture du verre doit avoir un diamètre de |7\ \text{cm}.| Autrement dit, la largeur et la hauteur du verre sont pratiquement identiques.
Pour la pyramide comme pour le cône, il arrive parfois qu’on doive déterminer la mesure de l’apothème du solide à partir du volume alors que cette mesure ne se retrouve pas dans la formule du volume. Dans ces cas, il faut d’abord trouver la hauteur du solide ou le rayon de la base. Ensuite, il faut faire une étape supplémentaire, soit calculer la mesure de l’apothème à l’aide du théorème de Pythagore.
Comme il faut effectuer sensiblement la même démarche pour trouver la mesure de l'apothème d’un cône ou d’une pyramide, seul le cône est présenté dans l’exemple qui suit.
Pour éviter qu'une tente de forme conique soit emportée par le vent, on fixe des cordes qui relient son apex au sol à l’aide de pieux. Ces cordes de sécurité doivent longer les parois de la tente.
En tenant compte des renseignements présents sur la figure et sachant qu'il faut prévoir 30 cm additionnels aux deux extrémités de chaque corde pour faire un nœud, quelle est la longueur minimale d'une de ces cordes?
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Identifier les mesures données
Rayon de la base : |\color{#3a9a38}{r=1{,}2\ \text{m}}|
Volume intérieur : |V_\text{cône}=4{,}09\ \text{m}^3| -
Déterminer la formule à utiliser
Puisqu’on connait le volume du cône, on utilise la formule du volume, même si l’apothème n’apparait pas dans cette formule. ||\begin{align} V &= \dfrac{A_b \times h}{3}\\ &=\dfrac{\pi \color{#3a9a38}{r}^2 \times h}{3} \end{align}|| -
Remplacer les variables par les mesures données ||4{,}09=\dfrac{\pi \color{#3a9a38}{(1{,}2)}^2 \times h}{3}||
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Isoler la variable recherchée ||\begin{align} 4{,}09 \color{#ec0000}{\times 3} &= \dfrac{\pi \color{#3a9a38}{(1{,}2)}^2 \times h}{3} \color{#ec0000}{\times 3} \\ \color{#ec0000}{\dfrac{\color{black}{12{,}27}}{1{,}44\pi}} &= \color{#ec0000}{\dfrac{\color{black}{1{,}44\pi \times h}}{1{,}44\pi}} \\ 2{,}71\ \text{m} &\approx h \end{align}||
Ici, on cherche la mesure de l'apothème et non celle de la hauteur. On doit donc utiliser le théorème de Pythagore.
||\begin{align} \color{#ec0000}{a}^2 + \color{#3a9a38}{b}^2 &= \color{#fa7921}{c}^2 \\\\ \color{#ec0000}{2{,}71}^2 + \color{#3a9a38}{1{,}2}^2 &= \color{#fa7921}{a}^2 \\ \color{#ec0000}{\sqrt{\color{black}{8{,}78}}} &\approx \color{#ec0000}{\sqrt{\color{black}{\color{#fa7921}{a}^2}}} \\ 2{,}96 \ \text{m} &\approx \color{#fa7921}{a} \end{align}||Puisqu'il faut ajouter |30\ \text{cm}| à chaque bout pour faire les nœuds, on obtient : ||\begin{align} \text{Longueur d'une corde}\ &= 2{,}96 + 0{,}3 + 0{,}3 \\ &= 3{,}56 \ \text{m} \end{align}||Réponse : Chaque corde doit avoir une longueur minimale de |3{,}56\ \text{m}.|
Comme on peut le voir dans l’exemple précédent, il faut trouver la mesure de la hauteur avant de déduire celle de l'apothème à l'aide du théorème de Pythagore. Autrement dit, trouver la mesure de l'apothème d’un cône ou d’une pyramide à partir du volume exige quelques calculs de plus que ceux pour trouver la hauteur.
Si, au lieu du volume, on connait l’aire latérale d’un cône ou d’une pyramide ainsi que les dimensions de sa base, on peut alors trouver la mesure de l’apothème directement. En effet, on retrouve bel et bien cette mesure dans la formule de l’aire latérale des cônes et des pyramides. La formule de l’aire latérale de ces solides est |A_L = \dfrac{P_b \times a}{2}.|
S’il faut trouver la hauteur d’un de ces solides à partir de l’aire latérale, il faut donc commencer par trouver la mesure de l’apothème. Puis, en utilisant le théorème de Pythagore, on trouve la hauteur. Pour voir un exemple, consulte la fiche Trouver la mesure de la hauteur d’une pyramide ou d’un cône.
Pour valider ta compréhension à propos des mesures manquantes dans les solides de façon interactive, consulte la MiniRécup suivante.
