Les démonstrations que tu auras à faire seront toujours adaptées à ton niveau scolaire.
Si tu es au 1er cycle du secondaire, tu dois connaitre les définitions et les propriétés des triangles, des quadrilatères et des droites remarquables. Tu dois aussi connaitre la classification des angles et les relations entre les angles, en particulier les théorèmes en lien avec les droites parallèles coupées par une sécante.
Si tu es au 2e cycle, en plus des concepts mentionnés précédemment, tu dois connaitre le théorème de Pythagore, les conditions d’isométrie et de similitude des triangles, de même que les relations métriques dans le triangle rectangle. On pourrait aussi te demander de faire des démonstrations à l’aide de la géométrie analytique.
Évidemment, ces énumérations ne sont pas complètes. D’ailleurs, on peut aussi te demander d’émettre une conjecture ou de démontrer un théorème qui n’est pas en géométrie. Tu dois donc être capable de faire appel à tes connaissances antérieures, notamment à la définition des nombres pairs et impairs.
Les démonstrations permettent de faire appel à ton sens critique et de développer, chez toi, une bonne rigueur mathématique.
Consulte les 2 vidéos qui suivent pour plus d’explications.
La 1re vidéo peut être vue par tous les élèves du secondaire.
La 2e vidéo s'adresse plus particulièrement aux élèves de 4e secondaire, car on y traite de notions vues à partir de ce niveau seulement.
Pour prouver qu’une conjecture est fausse, il suffit de trouver un contrexemple.
Lorsqu’on te demande d’émettre une conjecture, tu dois faire un minimum de 3 exemples variés. Commence par un exemple simple qui satisfait les critères de la question. Puis, pour les exemples suivants, tu dois travailler avec des figures plus générales ou avec des nombres négatifs, par exemple.
Après chaque exemple effectué au complet, tu dois tenter d’établir un lien entre les éléments de départ et ceux que tu obtiens à la suite de tes calculs et de tes observations. À la fin, il ne devrait te rester qu'une seule hypothèse, qui est une généralisation de toutes tes observations. Cette dernière hypothèse est ta conjecture que tu peux écrire dans tes propres mots. D’ailleurs, il n’y a pas qu’une seule façon d’écrire une conjecture. L’important est que tu sois clair(e) et précis(e), et que tu n’oublies aucun élément du problème.
Pour prouver qu’un théorème est vrai, tu dois avoir une démarche structurée composée des éléments suivants :
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Les hypothèses de départ : tout ce qui est donné dans l’énoncé ou clairement identifié sur la figure qui l’accompagne.
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La conclusion : ce qu’on cherche à prouver.
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Une liste d’affirmations et de justifications.
Toutes tes affirmations doivent être justifiées, soit en utilisant les hypothèses de départ ou les affirmations précédentes, soit avec des définitions, des propriétés ou des théorèmes.
À ce propos, voici le tableau des définitions, propriétés et théorèmes utiles qui a été présenté dans la 1re vidéo de cette MiniRécup :
| Définitions | Les triangles
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| Propriétés |
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| Théorèmes | Les angles
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Les démonstrations de théorèmes qui portent sur d’autres branches des mathématiques que la géométrie se font de la même façon.
Les démonstrations en géométrie analytique utilisent aussi la même structure, mais au lieu d’utiliser des théorèmes, tu dois faire tes justifications à l’aide de calculs algébriques où les formules utilisées sont celles de la géométrie analytique, telles que la distance entre 2 points ou la pente d’une droite.
Finalement, même si certains problèmes ne demandent pas explicitement de faire une démonstration, il est toujours important de justifier chacune de ces affirmations. Par exemple, si ce n’est pas mentionné dans la question, il faut toujours prouver que des figures sont semblables avant d’établir une proportion entre les côtés homologues.