Aide-mémoire | Mathématiques — Secondaire 1 et 2

​Pour être en mesure de comparer des nombres, il est préférable d'utiliser un seul type d'écriture. Puisque l'ensemble des |\mathbb{Q}| est celui qui contient le plus d'éléments dont on peut facilement illustrer la valeur, l'écriture en notation fractionnaire |\left( \dfrac{a}{b} \right)| avec |b \neq 0| sera utilisée.

Dans un problème écrit, il est important de bien comprendre la mise en situation afin d'orienter sa démarche de la bonne façon. Ainsi, il est utile de suivre ces étapes :

1. Créer la chaine d'opérations en ciblant les mots clés

2. Résoudre en suivant la priorité des opérations

La notion de pourcentage est un exemple de situation qui est toujours proportionnelle. Par contre, il faut être en mesure de bien construire la proportion afin de trouver les quantités voulues :

1. ​Identifier la quantité donnée et lui associer son pourcentage.

2. Identifier la quantité que l'on cherche et lui associer son pourcentage.

3. Construire adéquatement la proportion selon le modèle suivant : ||\displaystyle \frac{\color{red}{\text{Quantité donnée}}}{\color{blue}{\text{Quantité que l'on cherche}}} = \frac{\color{red}{\text{Son pourcentage}}}{\color{blue}{\text{Son pourcentage}}}||

4. Résoudre la situation de proportionnalité.

On exprime un rapport à l'aide de deux points superposés ou à l'aide d'une fraction.

|a : b| est le rapport partie par partie

|\displaystyle \frac{a}{a+b}| est le rapport partie-tout

où |a| et |b| sont des parties de même nature d'un tout et généralement premiers entre eux (rapport simplifié)

Par définition, les parties |a| et |b| d'un rapport |a:b| sont de même nature. Ainsi, on évite d'inscrire les unités associées à chacune des parties.

Généralement noté​ |a / b|, le taux met en relation deux quantités de nature différente.

​On fera référence au taux unitaire si |b=1.|

​Pour qu'une situation soit proportionnelle, le graphique qui lui est associé doit :

• passer par l'origine |(0,0),|

• être représenté par une ligne droite.

Une fois qu'on s'est assuré que la situation répond à ces critères, on peut utiliser le produit croisé ou le coefficient multiplicatif pour résoudre le problème.

Pour qu'une situation soit inversement proportionnelle, il faut que le graphique qui lui est associé soit :

• une ligne courbe décroissante,

• une ligne qui ne touche pas l'axe des abscisses et des ordonnées.

Une fois qu'on s'est assuré que la situation répond à ces critères, on peut la résoudre selon |x y = k| où |k| est une constante.

​Afin de bien saisir le rôle de chacune des composantes en algèbre, on leur a attribué des noms précis :

• Inconnue : Valeur numérique recherchée.

• Variable : Lettre utilisée pour identifier l'inconnue.

• Coefficient : Facteur multiplicatif placé devant l'inconnue.

• Termes : Parties d'une expression ou d'une équation qui sont séparées par des additions ou des soustractions.

• Terme constant (constante) : Terme composé uniquement d'un nombre ou dans lequel ne figure aucune variable.

• Termes semblables : Termes composés des mêmes variables et dont ces variables sont affectées des mêmes exposants.

• Expression algébrique : Combinaison de plusieurs termes dont on ne connait pas le total (aucun signe =).

• Degré : Dans un monôme, il correspond à la somme des exposants des variables. Dans un polynôme, il correspond au degré le plus élevé parmi les monômes qui le composent.

• Équation algébrique : Combinaison de plusieurs termes dont on connait le résultat (avec un signe =).

Pour simplifier une expression algébrique, il suffit d'appliquer la priorité des opérations en gardant ceci en mémoire :

• Multiplication et division : elles sont appliquées sur les coefficients, peu importe les termes.

• Addition et soustraction : elles sont appliquées sur les coefficients des termes semblables.

• Évaluer une expression algébrique : substituer les variables par les valeurs données.

Généralement, on peut résoudre une situation à l'aide de l'algèbre en suivant ces étapes :

1. Identifier les variables et les inconnues.

2. Créer l'équation selon la mise en situation.

3. Simplifier l'équation obtenue.

4. Résoudre l'équation en isolant la variable.

5. Valider sa réponse à l'aide de l'équation de départ.

Dans le but de définir les différentes figures planes et de trouver des mesures manquantes, on fait souvent référence à des types de segments particuliers :

• |\color{blue}{\text{Diagonale}\ (\overline{BD})}| : segment qui relie deux sommets qui ne sont pas adjacents.

• |\color{red}{\text{Médiane} \ (\overline{DF})}| : segment qui relie un sommet avec le milieu de son côté opposé.

• |\color{green}{\text{Médiatrice}\ (\overline{FH})}| : segment qui est perpendiculaire à un autre segment et qui divise ce dernier en deux parties égales.

• |\color{fuchsia}{\text{Bissectrice}\ (\overline{DE})}| : segment qui divise un angle en deux parties égales.

• |\color{orange}{\text{Hauteur}\ (\overline{DG})}| : segment issue du sommet d'une figure ou d'un solide qui est perpendiculaire à sa base.

Les polygones réguliers possèdent toutes les mêmes propriétés :

• Tous les côtés ont la même mesure.

• Tous les angles ont la même mesure.

• La somme des angles intérieurs peut se calculer à l'aide de la formule : |(n-2) \times 180°| où |n| est le nombre de côtés.

• Ils sont formés d'un ensemble de triangles isocèles, sauf l'hexagone, formé de triangles équilatéraux.

• Ils possèdent tous un nom différent en fonction de leur nombre de côtés.

• L'apothème correspond au segment reliant le centre du polygone avec le milieu d'un côté.

• L'apothème est perpendiculaire au côté qu'il touche.

Pour bien distinguer les propriétés des différents segments de droite dans un cercle, on utilise les termes suivants :

• |\color{orange}{\text{Corde} \ (\overline{CF})}| : segment qui relie deux points quelconques du cercle.

• |\color{red}{\text{Diamètre}\ (\overline{DE})}| : segment qui relie deux points quelconques du cercle en passant par le centre.

• |\color{green}{\text{Rayon} \ (\overline{AO})}| : généralement noté |r|, c'est un segment qui relie le centre du cercle à un point quelconque de celui-ci.

• Circonférence du cercle  |=| contour du cercle |= 2 \pi r.|

• |\color{fuchsia}{\text{Arc de cercle} \ \overset{\huge\frown}{\small {AB}}}| : portion du cercle qui est interceptée par deux rayons. ||\displaystyle \frac{\color{fuchsia}{m \overset{\huge\frown}{\small {AB}}}}{\color{fuchsia}{m \ \angle AOB}} = \displaystyle \frac{\text{Circonférence}}{360^\circ}||

• Aire du disque |=| surface recouverte par le disque |= \pi r^2.|

• Aire d'un secteur : portion du disque qui est délimitée par deux rayons. ||\displaystyle \frac{\text{aire du secteur} AOB}{\text{aire du disque}}= \displaystyle \frac{\color{fuchsia}{m \ \angle AOB}}{360^\circ}||

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Puisqu'il est question d'une figure décomposable, il faudra travailler avec l'aire de chacune de ses faces. Ainsi, les formules d'aire des figures planes seront à privilégier.

Puisqu'il est question d'un solide décomposable, il sera préférable de travailler avec l'aire de chacune de ses faces plutôt que de travailler avec l'aire totale de chacun des solides qui le composent. En d'autres mots, les formules d'aire des figures planes seront à privilégier.

Les étapes à suivre pour trouver une mesure manquante sont les suivantes :

1. Identifier les mesures données.

2. Déterminer la formule à utiliser.

3. Remplacer les variables connues.

4. Isoler la variable recherchée.

Voici le nom des angles en fonction de leur mesure :

• Un angle nul : angle qui mesure |0^\circ.|

• Un angle aigu : angle dont la mesure est comprise entre |0^\circ| et |90^\circ.|

• Un angle droit : souvent représenté à l'aide d'un carré noir, il s'agit d'un angle dont la mesure est exactement de |90^\circ.|

• Un angle obtus : angle dont la mesure est comprise entre |90^\circ| et |180^\circ.|

• Un angle plat : angle dont la mesure est exactement de |180^\circ.|

• Un angle rentrant : angle dont la mesure est comprise entre |180^\circ| et |360^\circ.|

• Un angle plein : angle qui mesure |360^\circ.|

Voici quelques définitions qui concernent des paires d'angles :

• Les angles adjacents : une paire d'angles qui ont un sommet et un côté commun et qui sont situés de chaque côté de l'angle commun.

• Les angles complémentaires : deux angles dont la somme de leurs mesures est de |90^\circ.|

• Les angles supplémentaires : deux angles dont la somme de leurs mesures est de |180^\circ.|

Par ailleurs, lorsque deux droites sont coupées par une sécante, cela forme des paires d'angles remarquables. Si les droites sont parallèles, alors on retrouvera plusieurs angles congrus.

Soit |d_1 // d_2| et |d_3,| une sécante :

Les angles suivants sont congrus :

• Les angles alternes-internes |(\color{redorange}{m\angle BEG} = \color{fuchsia}{m\angle CBE})| : angles qui sont de part et d'autres de la sécante, qui ne partagent pas le même sommet et qui sont à l'intérieur des droites parallèles.

• Les angles alternes-externes |(\color{green}{m\angle ABF} = \color{orange}{m\angle DEH})| : angles qui sont de part et d'autres de la sécante, qui ne partagent pas le même sommet et qui sont à l'extérieur des droites parallèles.

• Les angles correspondants |(\color{red}{m\angle ABC} = m\angle BED)| : angles qui sont du même côté de la sécante et qui ne partagent pas le même sommet. Par ailleurs, il y en a un qui est à l'intérieur des droites parallèles et l'autre, à l'extérieur.

• Les angles opposés par le sommet |(\color{blue}{m\angle FBE} = \color{red}{m\angle ABC})| : angles qui partagent le même sommet et dont les côtés de l'un sont le prolongement des côtés de l'autre.

Finalement, pour déduire des mesures d'angles, il est parfois utile d'utiliser le fait que la somme des angles intérieurs d'un triangle est de |180^\circ.| Pour les autres polygones, on peut appliquer la formule suivante :

• La somme des angle intérieurs d'un polygone |=(n-2)\times 180^\circ| où |n| est le nombre de côtés du polygone. 

Notée |t_{(x,y)}|, la translation est une isométrie puisque les mesures des angles et des côtés homologues sont identiques. 

La translation est généralement définie par une flèche de translation.

Notée |r_{(O,\text{degré})}|, la rotation est une isométrie puisque les mesures des angles et des côtés homologues sont identiques. 

La rotation est définie par un angle de rotation.

Notée |s_{\text{axe}}|, la réflexion (symétrie) est une isométrie puisque les mesures des angles et des côtés homologues sont identiques. 

La réflexion est définie par un axe de symétrie.

Notée |h_{(O,k)}|, l'homothétie établit une similitude entre deux figures puisque les angles homologues sont congrus et les côtés homologues sont proportionnels.

​Peu importe le plan cartésien avec lequel on travaille, il possède toujours les mêmes caractéristiques :

• Les quadrants : ils représentent chacune des quatre divisions du plan cartésien.

• L'axe des abscisses : axe horizontal qui est associé à la variable indépendante |(x).|

• L'axe des ordonnées : axe vertical qui est associé à la variable dépendante |(y).|

• L'origine : point de rencontre des deux axes dont la coordonnée est |(0,0).|

• Les coordonnées |(x,y)| : tout point dans le plan cartésien possède une coordonnée donnée en fonction de sa valeur sur l'axe des |x| et des |y.|

• Les axes : chacun des axes est représenté par une droite graduée.

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Pour bien comprendre les probabilités, il est important de bien différencier les différents événements :

• Impossible : dont la probabilité est égale à 0 (0%).

• Certain : dont la probabilité est 1 (100%).

• Probable : dont la probabilité est entre 0 et 1 (entre 0% et 100%).

• Élémentaire : qui contient un seul élément.

• Compatibles/incompatibles : dont l'intersection n'est pas vide / dont l'intersection est vide.

• Dépendants/indépendants : quand le résultat du 2^e tirage est influencé par le 1^er tirage / quand le résultat du 2^e tirage n'est pas influencé par le 1^er tirage.

Tout comme dans plusieurs domaines, la théorie et la pratique donnent souvent deux résultats différents :

• Probabilité fréquentielle : Probabilité qui est obtenue à la suite de la réalisation d'une expérience.

• Probabilité théorique : Probabilité qui est obtenue à la suite de l'analyse théorique des résultats possibles.

||\mathbb{P} = \displaystyle \frac{\text{Nbre de résultats recherchés}}{\text{Nbre de résultats possibles}}||

​Par ailleurs, le dénombrement des résultats possibles sera influencé si le tirage est fait avec ou sans remise.

Voici deux méthodes d'échantillonnage qui sont fréquemment utilisées :

• Aléatoire : les éléments sont choisis au hasard, sans méthodologie précise.

• Systématique : les éléments sont choisis en respectant une fréquence précise.

​Pour s'assurer de la crédibilité d'un sondage, il y a certains pièges qu'il faut éviter durant la création, la passation et l'analyse des données de celui-ci. Entre autres, les sources de biais suivantes sont souvent évoquées :

• La taille de l'échantillon : s'assurer d'interroger assez de gens afin que les résultats soient représentatifs de la population.

• La formulation des questions : s'assurer que les questions ne suggèrent aucune prise de position.

De façon générale, on peut définir le type de caractère étudié à l'aide des qualificatifs suivants :

• Qualitatif : lorsque la réponse est un mot ou une expression.

• Quantitatif discret : lorsque la réponse est une valeur numérique faisant partie de l'ensemble des entiers |(\mathbb{Z}).|

• Quantitatif continu : lorsque la réponse donnée est une valeur numérique faisant partie de l'ensemble des réels |(\mathbb{R}).|

​Une fois que les données ont été amassées, il faut les analyser afin d'en tirer des conclusions satisfaisantes. Pour ce faire, on utilise quelques valeurs numériques :

• Moyenne |= \displaystyle \frac{\text{Somme des données}}{\text{Nombre total de données}}|

• Étendue |= \text{Valeur maximale} - \text{Valeur minimale}|

• Minimum | = \text{Plus petite valeur de la distribution}|

• Maximum | = \text{Plus grande valeur de la distribution}|

Afin de n'oublier aucun élément dans la création d'un tel diagramme, on peut suivre les étapes suivantes :

1. ​Construire un tableau de distribution.

2. Identifier les axes et le titre du graphique.

3. S'assurer d'une bonne graduation et d'un bon espace pour écrire les différentes modalités / valeurs du sondage.

4. Associer la longueur des bandes aux effectifs de chacune des modalités / valeurs.

​Afin de n'oublier aucun élément dans la création d'un tel diagramme, on peut suivre les étapes suivantes :

1) ​Construire un tableau de distribution avec les mesures d'angles au centre des secteurs.

2) Dessiner chacun des secteurs en respectant leur angle au centre.

3) Ajouter une légende​ et un titre.

4) S'assurer que les pourcentages soient écrits sur chacun des secteurs.