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m1470
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Secondaire 4
Secondaire 5
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Mathématiques
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figures planes équivalentes
propriétés des figures équivalentes
figures de même aire
polygones de même aire
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Corps

Des figures équivalentes sont des figures qui ont la même aire.

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Corps

Des figures isométriques sont nécessairement des figures équivalentes.

Cependant, des figures équivalentes ne sont pas nécessairement des figures isométriques. En effet, 2 figures équivalentes peuvent être complètement différentes.

Contenu
Corps

On peut démontrer que le triangle |\color{#333fb1}{ABC}| et le carré |\color{#fa7921}{IJKL}| suivants sont équivalents en calculant leur aire respective.

Nombre de colonnes
2 colonnes
Format
50% / 50%
Première colonne
Image
Un triangle et un carré équivalents.
Deuxième colonne
Corps

Aire du triangle

||\begin{align}A_\text{triangle}&=\dfrac{\text{m}\overline{AC}\times\text{m}\overline{BH}}{2}\\&=\dfrac{16\times18}{2}\\&=144\ \text{cm}^2\end{align}||

Aire du carré

||\begin{align}A_\text{carré}&=\left(\text{m}\overline{IL}\right)^2\\&=12^2\\&=144\ \text{cm}^2\end{align}||

Corps

Conclusion : Le triangle |\color{#333fb1}{ABC}| et le carré |\color{#fa7921}{IJKL}| sont équivalents, puisqu’ils ont chacun une aire de |144\ \text{cm}^2.|

Contenu
Titre
La quadrature du cercle
Contenu
Contenu
Nombre de colonnes
2 colonnes
Format
50% / 50%
Première colonne
Corps

Considérée comme l’un des 3 grands problèmes des mathématiques de l’Antiquité, la quadrature du cercle porte sur les figures équivalentes. L’objectif de ce problème, dont on peut trouver la première trace écrite sur le célèbre papyrus Rhind d’Égypte, est de démontrer comment construire à la règle et au compas un carré dont l’aire est équivalente à celle d’un cercle donné.

C’est en 1882, après près de 3 000 ans, que le mathématicien allemand Ferdinand von Lindemann démontre que cette construction est impossible à accomplir.

Deuxième colonne
Image
Un carré et un cercle équivalent.
Liens
Titre (niveau 2)
La recherche de mesures manquantes dans des figures équivalentes
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recherche-mesures-manquantes
Contenu
Corps

Il est souvent nécessaire d'utiliser l'algèbre pour trouver des mesures manquantes dans des figures équivalentes. Voici la démarche à suivre pour y arriver.

Contenu
Corps
  1. Déterminer l'équation formée par l'équivalence entre l’aire des figures.

  2. Résoudre l’équation.

  3. Répondre à la question.

Corps

Voici un 1er exemple dans lequel il n’y a qu’une seule inconnue.

Contenu
Corps

Trouve la hauteur du rectangle |\color{#fa7921}{JKLM},| sachant qu’il est une figure équivalente au trapèze |\color{#333fb1}{ABCD}.|

Image
Un trapèze et un rectangle équivalents.
Solution
Corps
  1. Déterminer l'équation formée par l'équivalence entre l’aire des figures

On commence par déterminer l’aire du trapèze et du rectangle selon les informations fournies.

Nombre de colonnes
2 colonnes
Format
50% / 50%
Première colonne
Corps

Aire du trapèze

||\begin{align}A_\text{trapèze}&=\dfrac{\left(\text{m}\overline{AD}+\text{m}\overline{BC}\right)\times\text{m}\overline{BH}}{2}\\&=\dfrac{(9+3)\times5}{2}\\&=30\ \text{cm}^2\end{align}||

Deuxième colonne
Corps

Aire du rectangle

||\begin{align}A_\text{rectangle}&=\text{m}\overline{JM}\times\text{m}\overline{LM}\\&=5x\end{align}||

Corps

On obtient alors l’équation suivante.||\begin{align}\color{#333fb1}{A_\text{trapèze}}&=\color{#fa7921}{A_\text{rectangle}}\\\color{#333fb1}{30}&=\color{#fa7921}{5x}\end{align}||

  1. Résoudre l’équation
    ||\begin{align}\color{#ec0000}{\dfrac{\color{black}{30}}{5}}&=\color{#ec0000}{\dfrac{\color{black}{5x}}{5}}\\6\ \text{cm}&=x\end{align}||

  2. Répondre à la question

La hauteur du rectangle |\color{#fa7921}{JKLM}| est de |6\ \text{cm}.|

Corps

Voici un 2e exemple dans lequel il y a plusieurs inconnues.

Contenu
Corps

Trouve la hauteur du pentagone |\color{#fa7921}{EFGHI},| sachant qu’il est une figure équivalente au losange |\color{#333fb1}{ABCD}.|

Image
Un losange et un pentagone équivalents.
Solution
Corps
  1. Déterminer l'équation formée par l'équivalence entre l’aire des figures

On commence par déterminer l’aire du losange |\color{#333fb1}{ABCD}| et du pentagone |\color{#fa7921}{EFGHI}| selon les informations fournies. Remarque que le pentagone est une figure décomposable en un carré et un triangle équilatéral.

Nombre de colonnes
2 colonnes
Format
50% / 50%
Première colonne
Corps

Aire du losange

||\begin{align}A_\text{losange}&=\dfrac{\text{m}\overline{AC}\times\text{m}\overline{BD}}{2}\\&=\dfrac{x(3x-10{,}5)}{2}\end{align}||

Deuxième colonne
Corps

Aire du pentagone décomposable

||\begin{align}A_\text{pentagone}&=A_\text{carré}+A_\text{triangle}\\&=\left(\text{m}\overline{HI}\right)^2+\dfrac{\text{m}\overline{HF}\times\text{m}\overline{JG}}{2}\\&=(x-2)^2+\dfrac{(x-2)\times1{,}5}{2}\end{align}||

Corps

On obtient alors l’équation suivante.||\begin{align}\color{#333fb1}{A_\text{losange}}&=\color{#fa7921}{A_\text{pentagone}}\\\color{#333fb1}{\dfrac{x(3x-10{,}5)}{2}}&=\color{#fa7921}{(x-2)^2+\dfrac{(x-2)\times1{,}5}{2}}\end{align}||

  1. Résoudre l’équation

On multiplie d’abord les 2 membres de l’équation par |2| afin d’éliminer les fractions, puis on regroupe les termes semblables.

Corps

||\begin{align}\dfrac{x(3x-10{,}5)}{2}\color{#ec0000}{\times2}&=\color{#ec0000}{\left(\color{black}{(x-2)^2+\dfrac{1{,}5(x-2)}{2}}\right)\times2}\\x(3x-10{,}5)&=2(x-2)^2+1{,}5(x-2)\\3x^2-10{,}5x&=2(x^2-4x+4)+1{,}5x-3\\3x^2-10{,}5x&=2x^2-8x+8+1{,}5x-3\\x^2-4x-5&=0\end{align}||

Corps

Pour résoudre cette équation de degré 2, on peut utiliser de la formule quadratique.||\begin{align}x&=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\&=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4(1)(-5)}}{2(1)}\\&=\dfrac{4\pm\sqrt{36}}{2}\\\\x_1&=-1\ \text{m}\quad\text{et}\quad x_2=5\ \text{m}\end{align}||On doit rejeter la solution |x_1=-1\ \text{m}| puisque cela impliquerait, entre autres, que la mesure de la diagonale |\overline{AC}| du losange |\color{#333fb1}{ABCD}| soit négative. La solution recherchée est donc |x_2=5\ \text{m}.|

  1. Répondre à la question
    ||\begin{align}h_\text{pentagone}&=\text{m}\overline{JG}+\text{m}\overline{HI}\\&=1{,}5+\color{#333fb1}{x}-2\\&=1{,}5+\color{#333fb1}{5}-2\\&=4{,}5\ \text{m}\end{align}||

Ainsi, la hauteur du pentagone |\color{#fa7921}{EFGHI}| est de |4{,}5\ \text{m}.|

Titre (niveau 2)
La comparaison du périmètre de figures équivalentes
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comparaison-figures-equivalentes
Contenu
Corps

Il est possible de dégager certaines conjectures concernant le périmètre de figures planes équivalentes. On examine plusieurs exemples pour vérifier que chacune de ces propositions est vraie.

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Titre (niveau 3)
Le plus petit périmètre parmi les figures équivalentes à |\boldsymbol{n}| côtés
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perimetre-figures-equivalentes-n-cotes
Contenu
Corps

Parmi tous les polygones équivalents à |n| côtés, c'est le polygone régulier qui possède le plus petit périmètre.

Corps

Cette conjecture est similaire à celle qui concerne la plus petite aire parmi les prismes équivalents.

Contenu
Corps

Soit le rectangle |\color{#333fb1}{ABCD},| le cerf-volant |\color{#fa7921}{IJKL}| et le carré |\color{#7cca51}{EFGH}| suivants.

Image
Trois quadrilatères équivalents.
Corps

Ces 3 quadrilatères sont équivalents, puisqu’ils ont tous une aire de |64\ \text{dm}^2.|

Nombre de colonnes
3 colonnes
Format
33% / 33% / 33%
Première colonne
Corps

Aire du rectangle

||\begin{align}A_\text{rectangle}&=\text{m}\overline{AB}\times\text{m}\overline{BC}\\&=16\times 4\\&=64\ \text{dm}^2\end{align}||

Deuxième colonne
Corps

Aire du cerf-volant

||\begin{align}A_\text{cerf-volant} &=\dfrac{\text{m}\overline{IK}\times\text{m}\overline{JL}}{2}\\A_\text{cerf-volant}&=\dfrac{(4+4)\times(10+6)}{2}\\A_\text{cerf-volant}&=64\ \text{dm}^2\end{align}||

Troisième colonne
Corps

Aire du carré

||\begin{align}A_\text{carré} &=\left(\text{m}\overline{EF}\right)^2\\&=8^2\\&=64\ \text{dm}^2\end{align}||

Corps

Toutefois, chaque périmètre est différent.

Nombre de colonnes
3 colonnes
Format
33% / 33% / 33%
Première colonne
Corps

Périmètre du rectangle

||\begin{align}P_\text{rectangle}&=2\times\text{m}\overline{AB}+2\times\text{m}\overline{BC}\\&=2\times16+2\times4\\&=40\ \text{dm}\end{align}||

Deuxième colonne
Corps

Périmètre du cerf-volant

||\begin{align}P_\text{cerf-volant}&=2\times\text{m}\overline{IJ}+2\times\text{m}\overline{KL}\\&=2\times10{,}77+2\times7{,}21\\&=35{,}96\ \text{dm}\end{align}||

Troisième colonne
Corps

Périmètre du carré

||\begin{align}P_\text{carré}&=4\times\text{m}\overline{EF}\\&=4\times8\\&=32\ \text{dm}\end{align}||

Corps

Ainsi, parmi ces 3 quadrilatères équivalents, c'est le carré qui possède le plus petit périmètre, puisque c’est un polygone régulier à 4 côtés.

Titre (niveau 3)
Le plus petit périmètre parmi les polygones réguliers équivalents
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perimetre-polygones-reguliers-equivalents
Contenu
Corps

Parmi tous les polygones réguliers équivalents, c'est le polygone régulier ayant le plus grand nombre de côtés qui possède le plus petit périmètre.

Contenu
Corps

Soit le pentagone régulier, l’hexagone régulier et l’heptagone régulier suivants.

Image
Trois polygones réguliers équivalents.
Corps

Ces 3 polygones réguliers sont équivalents, puisqu’ils ont tous une aire de |16\ \text{m}^2.| Toutefois, chaque périmètre est différent.

Nombre de colonnes
3 colonnes
Format
33% / 33% / 33%
Première colonne
Corps

Périmètre du pentagone régulier

||\begin{align}P_\text{pentagone}&=n\times\text{m}\overline{AB}\\&=5\times3{,}05\\&=15{,}25\ \text{m}\end{align}||

Deuxième colonne
Corps

Périmètre de l’hexagone régulier

||\begin{align}P_\text{hexagone}&=n\times\text{m}\overline{EF}\\&=6\times2{,}48\\&=14{,}88\ \text{m}\end{align}||

Troisième colonne
Corps

Périmètre de l’heptagone régulier

||\begin{align}P_\text{heptagone}&=n\times\text{m}\overline{EF}\\&=7\times2{,}10\\&=14{,}70\ \text{m}\end{align}||

Corps

Ainsi, parmi ces 3 polygones réguliers équivalents, c'est l’heptagone régulier qui possède le plus petit périmètre, puisque c’est celui qui a le plus grand nombre de côtés.

Titre (niveau 3)
Le plus petit périmètre parmi les figures équivalentes
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perimetre-figures-equivalentes
Contenu
Corps

Parmi toutes les figures planes équivalentes, c'est le disque qui possède le plus petit périmètre.

Corps

Cette conjecture est similaire à celle qui concerne la plus petite aire parmi les solides équivalents.

Contenu
Corps

Soit le parallélogramme |\color{#333fb1}{ABCD},| le triangle |\color{#fa7921}{EFG}| et le disque de rayon |\color{#7cca51}{OI}| suivants.

Image
Trois figures planes équivalentes.
Corps

Ces 3 figures sont équivalentes, puisqu’elles ont toutes une aire de |78{,}54\ \text{cm}^2.| Toutefois, chaque périmètre est différent.

Nombre de colonnes
3 colonnes
Format
33% / 33% / 33%
Première colonne
Corps

Périmètre du triangle

||\begin{align}P_\text{triangle}&=\text{m}\overline{EF}+\text{m}\overline{FG}+\text{m}\overline{GE}\\&=13{,}43+15{,}89+12\\&=41{,}32\ \text{cm}\end{align}||

Deuxième colonne
Corps

Périmètre du parallélogramme

||\begin{align}P_\text{parallélogramme}&=2\times\text{m}\overline{DA}+2\times\text{m}\overline{AB}\\&=2\times6+2\times14{,}40\\&=40{,}80\ \text{cm}\end{align}||

Troisième colonne
Corps

Circonférence du disque

||\begin{align}C_\text{disque}&=2\pi\times\text{m}\overline{OI}\\&=2\pi\times5\\&\approx31{,}42\ \text{cm}\end{align}||

Corps

Ainsi, parmi ces 3 figures planes équivalentes, c'est le disque qui possède le plus petit périmètre.

Titre (niveau 3)
Le périmètre d’un polygone régulier à partir d’une aire donnée
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Corps

L’animation interactive suivante résume les 3 conjectures précédentes.

En déplaçant le curseur Nombre de côtés |(n),| on peut voir que plus le nombre de côtés augmente, plus le périmètre |(P)| diminue vers une certaine valeur. Cette valeur correspond à la circonférence du cercle équivalent à tous ces polygones réguliers.

On peut démontrer une relation algébrique qui donne le périmètre d’un polygone régulier en fonction de son aire.

Contenu
Corps

|P=2\sqrt{A\times n\times\tan\dfrac{180^\circ}{n}}|

|P :| périmètre du polygone régulier
|A :| aire du polygone régulier
|n :| nombre de côtés du polygone régulier

Contenu
Titre
Démonstration
Contenu
Contenu
Nombre de colonnes
2 colonnes
Format
50% / 50%
Première colonne
Corps

Comme on peut le voir dans l’animation interactive précédente, tous les polygones réguliers à |n| côtés sont décomposables en |n| triangles isocèles isométriques. On prend le pentagone régulier comme exemple particulier pour définir d’abord chacune des variables.

|c :| côté
|a :| apothème
|\theta :| angle au centre

Le périmètre |(P)| et l’aire |(A)| d’un polygone régulier sont donnés par les expressions suivantes.||\begin{align}P&=n\times c\\\\A&=\dfrac{c\times a\times n}{2}\end{align}||

Deuxième colonne
Image
Un pentagone régulier décomposé en triangles isocèles.
Corps

On isole |c| dans l’équation de l’aire afin de procéder à une substitution dans l’équation du périmètre.||\begin{align}A&=\dfrac{c\times a\times n}{2}\\2A&=c\times a\times n\\\dfrac{2A}{a\times n}&=c\\\\P&=n\times\color{#7cca51}{c}\\P&=n\times\color{#7cca51}{\dfrac{2A}{a\times n}}\\P&=\dfrac{2A}{a}\end{align}||Cette équation donne le périmètre d’un polygone régulier en fonction de son aire |(A)| et de son apothème |(a).| À l’aide du rapport tangente dans le triangle rectangle, qui correspond à la moitié du triangle isocèle, on peut établir une relation entre l’apothème, la moitié du côté et la moitié de l’angle au centre du polygone.||\begin{align}\tan\color{#fa7921}{\dfrac{\theta}{2}}&=\dfrac{\color{#7cca51}{\dfrac{c}{2}}}{\color{#333fb1}{a}}\\a\times\tan\dfrac{\theta}{2}&=\dfrac{c}{2}\\a&=\dfrac{c}{2\tan\frac{\theta}{2}}\end{align}||On substitue |c| par la même expression que plus tôt, puis on isole |a.|||\begin{align}a&=\dfrac{\color{#7cca51}{c}}{2\tan\frac{\theta}{2}}\\a&=\dfrac{\color{#7cca51}{\dfrac{2A}{a\times n}}}{2\tan\frac{\theta}{2}}\\a&=\dfrac{2A}{a\times n}\times\dfrac{1}{2\tan\frac{\theta}{2}}\\a&=\dfrac{A}{a\times n\times\tan\frac{\theta}{2}}\\a^2&=\dfrac{A}{n\times\tan\frac{\theta}{2}}\\a&=\sqrt{\dfrac{A}{n\times\tan\frac{\theta}{2}}}\end{align}||On substitue |a| dans l’équation du périmètre par l’expression qu’on vient de trouver, puis on simplifie.||\begin{align}P&=\dfrac{2A}{\color{#333fb1}{a}}\\ P&=\dfrac{2A}{\color{#333fb1}{\sqrt{\dfrac{A}{n\times\tan\frac{\theta}{2}}}}}\\ P&=2A\times\sqrt{\dfrac{n\times\tan\frac{\theta}{2}}{A}}\\P&=2\sqrt{A^2\times\dfrac{n\times\tan\frac{\theta}{2}}{A}}\\P&=2\sqrt{A\times n\times\tan\frac{\theta}{2}}\end{align}||Finalement, on substitue |\theta| par l’expression de l’angle au centre d’un polygone régulier.||\begin{align}P&=2\sqrt{A\times n\times\tan\frac{\color{#fa7921}{\theta}}{2}}\\P&=2\sqrt{A\times n\times\tan\dfrac{\color{#fa7921}{\frac{360^{\circ}}{n}}}{2}}\\P&=2\sqrt{A\times n\times\tan\dfrac{180^{\circ}}{n}}\end{align}||

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