Aide-mémoire | Mathématiques — Secondaire 5 (TS)

|\color{white}{=}\dfrac{(27 a^3 b)^{\frac{1}{2}}}{27^{\frac{1}{3}}a^3}|

|= \dfrac{(3^3 a^3 b)^{\frac{1}{2}}}{(3^{3})^{\frac{1}{3}}a^3}|​​

​Mettre les coefficients sur la même base, si possible.

|\color{white}{=} \dfrac{\sqrt{3^3 a^3 b}}{3^1 a^3}|​

|= \dfrac{\sqrt{\color{blue}{3^2} \times 3^1 \times\color{red}{a^2}\times a^1 \times b}}{3^1 a^3}|

|= \dfrac{\color{blue}{3} \times \color{red}{a} \sqrt{3ab}}{3 a^3}|

|= ​\dfrac{\sqrt{3ab}}{a^2}|

​Utiliser les lois et les propriétés des exposants pour simplifier le plus possible.

​ ​L'expression simplifiée est |\dfrac{\sqrt{3ab}}{a^2}.|

​|\sqrt{45} = \sqrt{\color{blue}{9} \times 5}|

​Factoriser le radicande avec un nombre carré.

​|\sqrt {\color{blue}{9} \times 5}|
|= \sqrt{\color{blue}{9}} \times \sqrt {5}|

​Utiliser la loi du produit des radicaux |\rightarrow \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}.|

​|\sqrt {\color{blue}{9}} \times \sqrt {5}|
| = \color{blue}{3} \times \sqrt {5}|

​Calculer les racines carrées.

​ ​Ainsi, |\sqrt{45} = 3 \sqrt{5}.|

||\begin{align}=\,&(\color{#3b87cd}{\log_4 3x^2 + \log_4 4y} - \log_4 6x)^4\\=\,&(\color{#3b87cd}{\log_4 (3x^2 \times 4y)} - \log_4 6x)^4\\ =\,&(\color{#ec0000}{\log_4 12x^2y - \log_4 6x})^4\\ =\,&\left(\color{#ec0000}{\log_4 \left(\dfrac{12x^2y}{6x}\right)}\right)^4\\ =\,&4 \log_4(2xy)\end{align}||​​

​​Utiliser les lois des logarithmes avec ceux qui ont la même base.

​ ​Alors, l'expression simplifiée est |4 \log_4(2xy).|

​|\begin{align}f(x)& = a (x-h)^2+k\\f(x)& = a (x-6)^2 + 1{,}5\\0{,}69 &= a (3-6)^2 + 1{,}5\\
0{,}69 &= a \times 9 + 1{,}5\\
-0{,}09 &= a\end{align}|
|\Rightarrow \color{white}{-}f(x) = -0{,}09 (x-6)^2 + 1{,}5|

Trouver l'équation de la parabole sous la forme appropriée : |f(x) = a(x-h)^2+k.|

|f(x) = -0{,}09 ( x^2 - 12x + 36) + 1{,}5|
|f(x) = -0{,}09x^2 + 1{,}08x - 1{,}74|

​Transformer la règle sous sa forme générale : |(f(x) = Ax^2 + Bx + C).|

|0 = -0{,}09x^2 + 1{,}08x - 1{,}74|
|\{x_1, x_2\} = \dfrac{-(1{,}08) \pm \sqrt{(1{,}08)^2 - 4(-0{,}09)(-1{,}74)}}{2(-0{,}09)}|
|= \{1{,}92 ; 10{,}08\}|

Trouver les zéros de la fonction en remplaçant |f(x) = 0| et en utilisant la formule quadratique.

​​​ ​​Ainsi, la longueur du saut est de |10{,}08 - 1{,}92 = 8{,}16| mètres.

|h=3|

​Trouver la valeur de |h| selon l'asymptote verticale.

​|\color{blue}{\text{zéro de fonction}} = \dfrac{1}{b} + h|

|\Rightarrow \color{blue}{\dfrac{13}{4}}= \dfrac{1}{b} + 3|

|\color{white}{\Rightarrow} \dfrac{1}{4} = ​\dfrac{1}{b}|

|\color{white}{\Rightarrow} b = 4|

​Utiliser le zéro de la fonction pour trouver la valeur du paramètre |b|.
Zéro de la fonction | =\dfrac{1}{b} + h.|

​|\begin{align}\color{red}{1{,}79} &= \log_c(4(\color{red}{6}-3))\\
\color{red}{1{,}79} &= \log_c(12)\\
 c^{1{,}79} &= 12\\
c& = 4\end{align}|
Ainsi, |f(x) = \log_4(4(x-3)).|

​Trouver la valeur du paramètre |c| en utilisant les coordonnées d'un autre point |\color{red}{(6 ; 1{,}79)}.|

​|\begin{align}3& = \log_4(4(x-3))\\
4^3 &= 4(x-3)\\
19 &= x\end{align}|

​Remplacer |f(x)| par 3.

Quand |y= 3, x = 19.|

​Investissement minimal requis| = 3\ 000 \$|
|\Rightarrow 3\ 000 = k|

Trouver la valeur du paramètre |k.|

​|\begin{align}c &= 1 \pm 5 \%\\
c& = 1 + 0{,}05\\
c& = 1{,}05\end{align}|

|\Rightarrow f(x) = a(1{,}05)^{bx}+ 3\ 000|

Trouver la valeur du paramètre |c.|

Capitalisé aux deux ans | \Rightarrow b = \dfrac{1}{2}|
Ainsi, |f(x) = a(1{,}05)^{\frac{1}{2}x}+ 3\ 000.|

Trouver la valeur du paramètre |b| en fonction du contexte.

​|\begin{align}5\ 000 &= a(1{,}05)^{\frac{1}{2}(0)}+3\ 000\\
5\ 000 &= a(1) + 3\ 000\\
2\ 000 &= a\end{align}|

​Remplacer |(x,y)| par la valeur initiale donnée |(0,5\ 000).|

|\begin{align}8\ 000 &= 2000(1{,}05)^{\dfrac{1}{2}x}+3\ 000\\
2{,}5 &= (1{,}05)^{\dfrac{1}{2}x}\\
\log_{1{,}05}(2{,}5)& = \dfrac{1}{2}x\\
18{,}78 &\approx \dfrac{1}{2}x\\
37{,}56 &= x\end{align}|

Remplacer |f(x)| par |8\ 000\ $.|

​​ ​La somme investie rapportera au moins |8\ 000\ $| après |37{,}56| années.

​|f(x) = \pm a \sqrt{\pm 1(x-h)} + k|

​Déterminer le modèle à utiliser.

|f(x) = a \sqrt{1(x-h)} + k|
|f(x) = a \sqrt{x-h} + k|

Déterminer le signe de |a| et de |b| selon l'orientation du graphique (les deux sont positifs).

​|\begin{align} \color{green}{8} &= a \sqrt{\color{green}{12} - h} + 3\\
25& = a^2 (\color{green}{12}- h)\\
\dfrac{25}{\color{green}{12}-h}&=a^2\\\\
\color{red}{10{,}5}& = a \sqrt{\color{red}{17} - h} + 3\\
56{,}25 &= a^2 (\color{red}{17}- h)\\
\dfrac{56{,}25}{\color{red}{17}-h}& = a^2\end{align}​|

​Créer deux équations avec les points fournis.

​|\begin{align}\dfrac{56{,}25}{17 - h}& = \dfrac{25}{12-h}\\
56{,}25(12-h)& = 25(17-h)\\ 675 - 56{,}25h& = 425 - 25h\\
250 &= 31{,}25h\\
8 &= h\end{align}|​

​Comparer les deux valeurs de |a^2.|

​|\begin{align}f(x) &= a \sqrt{x-8} + 3\\
\color{green}{8}&= a \sqrt{\color{green}{12} - 8} + 3\\
\color{green}{8}& = a(2) + 3\\
2{,}5 &= a\end{align}|

​Utiliser un des points pour trouver la valeur de |a.|

​​|\begin{align} f(x)& = 2{,}5 \sqrt{x-8} + 3\\
50& = 2{,}5 \sqrt{x-8}+3\\
18{,}8 &= \sqrt{x-8}\\
353{,}44& = x-8\\
361{,}44& = x\end{align}|

​​ ​L'oiseau se trouvera à une distance horizontale de |361{,}44| mètres.

​|x =| nombre de vestons
|y =| nombre de chemises

Identifier les variables. L'association du |x| et du |y| se fait généralement de façon aléatoire.

​|Z = 32x + 17y|

​Trouver la fonction à optimiser.

​|\color{blue}{y \le 21 - 4x}|
|\color{green}{x \ge 8 - 3y}|
|\color{red}{3x - 2x \ge 2}|
|x \ge 0| et |y \ge 0|

​Identifier les inéquations sans oublier les contraintes de non-négativité.

​|\color{blue}{y \le 21 - 4x}|
|\color{green}{y \ge -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{8}{3}}|
|\color{red}{y \le \dfrac{3}{2}x - 1}|

​Isoler |y| dans chacune des inéquations afin de les écrire sous la forme fonctionnelle.

​Tracer les droites-frontières de chacune des inéquations dans un plan cartésien.

​Trouver le polygone de contraintes qui respecte toutes les inéquations.

Trouver les coordonnées de chacun des sommets en utilisant la méthode de comparaison, de substitution ou de réduction. 

Selon le point  |A (4,5),| 
|\Rightarrow Z = 32 \times 4 + 17 \times 5 = 213.|
Selon le point |B (5,1),|
|\Rightarrow Z = 32 \times 5 + 17 \times 1 = 177.|
Selon le point |C (2,2),|
|\Rightarrow Z = 32 \times 2 + 17 \times 2 = 98.|

Calculer le profit pour chacun des points en utilisant la fonction à optimiser.

Pour maximiser ses profits, le directeur devrait vendre |4| vestons et |5| chemises pour un profit maximal de |213\ $.|

​|\color{red}{A_\text{Ancien}} = \color{blue}{A_\text{Nouveau}}|

Les deux figures sont équivalentes.

​|\begin{align} \color{red}{A_\text{Ancien}} &= \color{blue}{A_\text{Nouveau}} \\ \color{red}{b\times h} &= \color{blue}{b\times h} \\ \color{red}{8 \times 12} &= \color{blue}{b \times 10} \\ \color{red}{96} &= \color{blue}{10b} \\ 9{,}6\ \text{m} &= \color{blue}{b} \end{align}|

​Créer une équation avec les formules d'aire et résoudre.

​La largeur de son nouveau stationnement doit être de |9{,}6\ \text{m}.|

​|\color{blue}{V_\text{Prisme}} = \color{red}{V_\text{Demi-boule}}|

Les deux solides sont équivalents.

​|\begin{align} \color{blue}{A_b \times h} &= \color{red}{\dfrac{4 \pi r^3}{3} \div 2} \\ \color{blue}{\dfrac{1{,}8 \times 1{,}7}{2} \times 2{,}1} &= \color{red}{\dfrac{4 \pi r^3}{6}} \\ \color{blue}{3{,}21} &\approx \color{red}{\frac{4 \pi r^3}{6}} \\ 1{,}53 &\approx \color{red}{r^3} \\ 1{,}15\ \text{m} &\approx \color{red}{r} \end{align}|

Créer une équation avec les formules de volume respectives et résoudre.

Le rayon de la tente en forme de demi-boule doit être d'environ |1{,}15\ \text{m}.|

​|\begin{align}\dfrac{\text{Mesure de l'angle en degrés}}{180^\circ} &= \frac{\text{Mesure de l'angle en radians}}{\pi\ \text{rad}}\\ \dfrac{\color{red}{227^\circ}}{180^\circ} &= \dfrac{\text{Mesure de l'angle en radians}}{\pi \ \text{rad}}\end{align}|​​

Utiliser la proportion identifiée plus haut.

​|\begin{align}\color{red}{227^\circ} \times \pi \div 180^\circ &= \text{Mesure de l'angle en radians}\\
\color{white}{\Rightarrow 227^\circ \cdot \pi}3{,}96 \ \text{rad} &= \text{Mesure de l'angle en radians}\end{align}|

Résoudre en utilisant le produit croisé.

​​L'angle au centre mesure |3{,}96 \ \text{rad}.|

Identifier les sommets et les arêtes du triangle.

Si possible, déduire d'autres mesures du triangle (somme des angles intérieurs d'un triangle et propriétés du triangle isocèle).

|\begin{align} \dfrac{\color{green}{a}}{\sin 40^\circ} &= \dfrac{\color{blue}{20}}{\sin \color{blue}{70^\circ}} \\\\ \Rightarrow\ \color{green}{a} &= \dfrac {\color{blue}{20} \sin 40^\circ}{\sin \color{blue}{70^\circ}} \\ \color{green}{a} &\approx 13{,}68 \ \text{m} \end{align}|

Appliquer la loi des sinus et isoler la variable.​

Ainsi, |m \overline{AB} = m \overline {AC} = 20 \ \text{m}| et |m \overline {BC} \approx 13{,}68 \ \text{m}.|

Identifier les sommets et les arêtes du triangle.

​|\begin{align} \dfrac{\color{blue}{1{,}18}}{\sin \color{blue}{15}} &= \dfrac {\color{red}{3{,}39}}{\sin \color{red}{B}} \\\\ \Rightarrow\ \sin \color{red}{B} &= \dfrac{\color{red}{3{,}39} \sin \color{blue}{15}}{\color{blue}{1{,}18}} \\ \sin \color{red}{B} &\approx 0{,}744 \end{align}|

Utiliser la loi des sinus et isoler le sinus de l'angle recherché.

|\begin{align} \sin \color{red}{B} &\approx 0{,}744 \\ \color{red}{ B} &\approx \sin^{-1} (0{,}744) \\ \color{red}{B} &\approx 48{,}1^\circ \end{align}|

Calculer la valeur de la variable en effectuant |\sin^{-1}.|

​|\begin{align} \color{red}{m\angle B} &\approx 180^\circ - 48{,}1^\circ \\ \color{red}{m\angle B} &\approx 131{,}9^\circ \end{align}|

Trouver la valeur de l'angle obtus.

Dans cette situation, la mesure de l'angle est de |131{,}9^\circ.|

​Identifier les sommets et les arêtes du triangle.

​|\begin{align} \color{red}{a}^2 &= \color{blue}{b}^2 + \color{green}{c}^2 - 2\color{blue}{b} \color{green}{c} \cos \color{red}{A} \\ \color{red}{a}^2 &= \color{blue}{92}^2 + \color{green}{125}^2 - 2 \color{blue}{(92)} \color{green}{(125)} \cos \color{red}{81^\circ} \end{align}|

Appliquer la formule appropriée pour faire en sorte qu'il n'y ait qu'une seule mesure inconnue.

|\begin{align} \color{red}{a}^2 &= \color{blue}{92}^2 + \color{green}{125}^2 - 2 \color{blue}{(92)} \color{green}{(125)} \cos \color{red}{81^\circ}​ \\ \color{red}{a}^2 &\approx 8\ 464 +  15\ 625 - 3\ 598 \\ \color{red}{a}^2 &\approx 20\ 491 \\ \color{red}{a}\ &\approx 143{,}15 \end{align}|

Résoudre l'équation en isolant la variable.

L'orignal peut se promener sur une |\color{red}{\text{distance}}| d'environ |143{,}15\ \text{m}.|

​Identifier les sommets et les arêtes du triangle.

​|\begin{align} \color{blue}{a^2} &= \color{red}{b^2} + \color{green}{c^2} - 2 \color{red}{b} \color{green}{c} \cos \color{blue}{A} \\ \color{blue}{22^2} &= \color{red}{24^2} + \color{green}{21^2} - 2 \color{red}{(24)} \color{green}{(21)} \cos \color{blue}{A} \end{align}|

Substituer les valeurs dans la formule. Ici, on utilise |a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A| puisque c'est la mesure de l'angle |A| que l'on cherche.

|\begin{align} \color{blue}{22^2} &= \color{red}{24^2} + \color{green}{21^2} - 2 \color{red}{(24)} \color{green}{(21)} \cos \color{blue}{A} \\ \color{blue}{484} &=576+441 - 1 \ 008 \cos \color{blue}{A}\\\\ \Rightarrow\ \dfrac{484 - 576-441}{- 1 \ 008} &= \cos \color{blue}{A} \\ 0{,}529 &\approx \cos \color{blue}{A} \\ 58^\circ &\approx \color{blue}{m\angle A} \end{align}|

​Isoler la variable.

Pour s'assurer qu'il n'y ait aucun angle mort, la caméra devrait décrire des rotations d'un angle d'environ |58^\circ.|

​|\text{m} \ \overline{HC} = 2{,}5 = \text{m} \ \overline{CG}|

Puisque |\overline{BF}| est un diamètre, elle coupe |\overline{GH}| en deux parties égales.

||\begin{align}\text{m} \ \overline{DH} \times \text{m} \ \overline{DG} &=\text{m}\ \overline{DI} \times \text{m} \ \overline{DF}\\
1{,}62 \times \big(2{,}5+(2{,}5-1{,}62)\big)& = 1{,}76 \times x\\
5{,}48& \approx 1{,}76x\\
3{,}11 &\approx x\end{align}||

||\color{fuchsia}{\overline{FI}}=1{,}76+3{,}11=4{,}87||

Utiliser la 3^e formule présentée plus haut.

La mesure de |\color{fuchsia}{\overline{FI}}| est de |4{,}87.|

|\begin{align}​\color{green}{\text{m} \ \angle BFD} &= \dfrac{\color{fuchsia}{\text{m} \ \angle BED} - \color{red}{\text{m} \ \angle AEC}}{2}\\
\color{green}{42^\circ} &=\dfrac{\color{fuchsia}{m \ \angle BED} - \color{red}{58^\circ}}{2}\\
\color{fuchsia}{142^\circ} &= \color{fuchsia}{m \ \angle BED}\end{align}|

Trouver |\color{fuchsia}{\text{m} \ \angle BED}| selon la 3^e formule.

||\begin{align}​\color{blue}{\text{m} \ \angle BGD} &=\dfrac{\color{fuchsia}{\text{m} \ \angle BED}}{2}\\
\color{blue}{\text{m} \ \angle BGD} &=  \dfrac{\color{fuchsia}{142^\circ}}{2}\\
\color{blue}{\text{m} \ \angle BGD} &=\color{blue}{ 71^\circ}\end{align}||

Trouver |\color{blue}{\text{m} \ \angle BGD}| selon la 1^re formule.

Ainsi,  ​|\color{blue}{\text{m} \ \angle BGD = 71^\circ}.|

​|\sec \theta - \cos \theta =​ \dfrac{1}{\cos \theta} - \cos \theta|

Transformer les termes en |\sec \theta| et |\cos \theta.|

|\begin{align} \phantom{\sec \theta - \cos \theta​}​ &= \dfrac{1}{\cos \theta} - \frac{\cos ^2 \theta}{\cos \theta}\\ &= \dfrac{1 - \cos ^2 \theta}{\cos \theta} \end{align}|

Trouver un dénominateur commun pour effectuer la soustraction.

|\phantom{\sec \theta - \cos \theta​}​ =​ \dfrac{\sin ^2 \theta}{\cos \theta}|

Utiliser |\sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1 \Rightarrow \sin ^2 \theta = 1 - \cos ^2 \theta.|

|\phantom{\sec \theta - \cos \theta​}​ = ​\dfrac{\color{blue}{\sin \theta} \ \sin \theta}{\color{blue}{\cos \theta}}​|

Décomposer |\sin ^2 \theta = \sin \theta \ \sin \theta.|

|\phantom{\sec \theta - \cos \theta​}​ = \color{blue}{\tan \theta} \ \sin \theta|

Utiliser |\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta.|

L'identité est vérifiée puisqu'on obtient ce qui était indiqué au départ.​

Utiliser les composantes du vecteur en partant de l'origine du plan cartésien.​

Tracer un triangle rectangle pour en déduire la norme. ||\begin{align} \mid\mid \color{red}{\overrightarrow u} \mid \mid &= \sqrt{\color{blue}{3}^2 + \color{green}{8}^2} \\ &\approx 8{,}54 \end{align}||

Utiliser les rapports trigonométriques pour trouver la mesure de l'angle associée à l'orientation de |\color{red}{\overrightarrow u}.|

||\begin{align} \text{Orientation de}\ \color{red}{\overrightarrow u} &= \color{orange}{m\angle ABC} \\ &= 180^\circ - \color{fuchsia}{m\angle DBC} \\ &= 180^\circ - \tan^{-1} \left(\frac{\color{green}{8}}{\color{blue}{3}}\right) \\ &\approx 180^\circ - 69 ^\circ \\ &\approx 111^\circ \end{align}||

Ainsi, |\mid \mid  \color{red}{\overrightarrow u} \mid \mid\ \approx 8{,}54| et son orientation est d'environ |111^\circ.|

​|\begin{align} \color{blue}{\overrightarrow w} &= k_1 \color{red}{\overrightarrow u} + k_2 \color{green}{\overrightarrow v} \\ \color{blue}{(4,-12)} &= k_1 \color{red}{(-1,4)} + k_2 \color{green}{(2,5)}\end{align}|

|\Rightarrow\begin{cases}\color{blue}{\ \ \ \ \ 4} = k_1 \color{red}{(-1)} + k_2 (\color{green}{2})\\\color{blue}{-12} = k_1 (\color{red}{4}) + k_2 (\color{green}{5})\end{cases}|

​​Créer deux équations à l'aide de la définition de la combinaison linéaire, soit une pour la composante en |x| et l'autre pour la composante en |y.|

​|\begin{align} \color{blue}{-16} &= \color{red}{4}k_1\color{green}{-8}k_2 \\
\color{blue}{-12} &=\color{red}{4}k_1 +\color{green}{5}k_2 \\\hline -4 &=\ \ \ \ -13k_2 \\
\color{fuchsia}{\dfrac{4}{13}} &= \color{fuchsia}{k_2} \end{align}|

|\begin{align} \color{blue}{-12} &=\color{red}{4}k_1 +\color{green}{5}\left(\color{fuchsia}{\dfrac{4}{13}}\right) \\ \color{orange}{-\dfrac{44}{13}} &= \color{orange}{k_1} \end{align}|

Résoudre le système d'équations par la méthode de réduction en multipliant la première équation par |-4.|

​Ainsi, |\color{blue}{\overrightarrow w} = \color{orange}{-\dfrac{44}{13}}\color{red}{\overrightarrow u} + \color{fuchsia}{\dfrac{4}{13}}\color{green}{\overrightarrow v}.|

​|\begin{align}W &= \color{red}{150}\cos \color{blue}{21^\circ} \times \color{green}{12}\\&\approx 1\ 680 \ J\end{align}|

Utiliser la formule pour calculer le travail. ||W = \color{red}{F}\cos \color{blue}{\theta} \times \color{green}{\Delta x}||

Julien devra effectuer un travail de |1\ 680 \ J.|

​​|A(3,2)|
|B(-1,5)|
|C(4,-1)|

Déterminer les coordonnées de chacun des sommets.

|r_{(0,270^\circ)} : (\color{blue}{x},\color{red}{y}) \mapsto (\color{red}{y},\color{blue}{-x})|

Identifier la relation à utiliser.

​|A(\color{blue}{3},\color{red}{2}) \mapsto A' (\color{red}{2}, \color{blue}{-3})|

​|B(\color{blue}{-1},\color{red}{5}) \mapsto B' (\color{red}{5}, \color{blue}{1})|

​|C(\color{blue}{4},\color{red}{-1}) \mapsto C' (\color{red}{-1}, \color{blue}{-4})|

Appliquer la relation identifiée sur chacune des coordonnées des sommets.

​Les coordonnées de la figure image de cette rotation sont |A'(2,-3),| |B'(5,1)| et |C'(-1,-4).|

​​|A(-3,-5)|
|B(-2,1)|
|C(4,3)|
|D(2,-2)|

​Déterminer les coordonnées de chacun des sommets.

|s_y : (\color{blue}{x}, \color{red}{y}) \mapsto (\color{blue}{-x}, \color{red}{y})|

​Identifier la relation à utiliser.

|A(\color{blue}{-3},\color{red}{-5}) \mapsto A' (\color{blue}{3}, \color{red}{-5})|
​|B(\color{blue}{-2},\color{red}{1}) \mapsto B' (\color{blue}{2}, \color{red}{-1})|
​|C(\color{blue}{4},\color{red}{3}) \mapsto C' (\color{blue}{-4}, \color{red}{3})|
|D(\color{blue}{2}, \color{red}{-2}) \mapsto D'(\color{blue}{-2}, \color{red}{-2})|

Appliquer la relation identifiée sur chacune des coordonnées des sommets.

​​|A(2,3)|
|B(4,7)|
|C(8,-2)|
|D(-3,12)|

​Déterminer les coordonnées de chacun des sommets initiaux.

|t_{(5,-4)} : (x,y) \mapsto (x + 5, y - 4)|

Identifier la relation à utiliser.

​|A(\color{blue}{2},\color{red}{3}) \mapsto A' (\color{blue}{7}, \color{red}{-1})|
​|B(\color{blue}{4},\color{red}{7}) \mapsto B' (\color{blue}{9}, \color{red}{3})|
​|C(\color{blue}{8},\color{red}{-2}) \mapsto C' (\color{blue}{13}, \color{red}{-6})|
|D(\color{blue}{-3},\color{red}{12}) \mapsto D'(\color{blue}{2}, \color{red}{8})|

Appliquer la relation identifiée sur chacune des coordonnées des sommets.

Dans l'énoncé, |C'=(12,-6)| et |D'=(2,-8)| alors que les calculs démontrent que |C'=(\color{blue}{13}, \color{red}{-6})| et |D'=(\color{blue}{2}, \color{red}{8}).| Puisqu'il y a une erreur dans les coordonnées données dans l'énoncé, les figures images et initiales ne seront pas isométriques.

|A(1,2)|
|B(2,3)|
|C(4,0)|
|D(3,-2)|
|E(-1,-2)|

Déterminer les coordonnées de chacun des sommets.

​|h_{(0,12)} : (\color{blue}{x},\color{red}{y}) \mapsto (\color{blue}{12x},\color{red}{12y})|

​Identifier la relation à utiliser.

​|A(\color{blue}{1},\color{red}{2}) \mapsto A' (\color{blue}{12}, \color{red}{24})|
​|B(\color{blue}{2},\color{red}{3}) \mapsto B' (\color{blue}{24}, \color{red}{36})|
​|C(\color{blue}{4},\color{red}{0}) \mapsto C' (\color{blue}{48}, \color{red}{0})|
|D(\color{blue}{3}, \color{red}{-2}) \mapsto D'(\color{blue}{36}, \color{red}{-24})|
|E(\color{blue}{-1}, \color{red}{-2}) \mapsto E'(\color{blue}{-12}, \color{red}{-24})|

Appliquer la relation identifiée sur chacune des coordonnées des sommets.

Les nouvelles coordonnées seraient |A'(12,24),| |B'(24,36),| |C'(48,0),| |D'(36,-24)| et |E'(-12,-24).|

|\begin{align}(\color{green}{6{,}35} - h)^2 + (\color{green}{10{,}92} -\color{blue}{4})^2 &= r^2\\\\
(\color{red}{8{,}35} -h)^2 + (\color{red}{-1{,}98} - \color{blue}{4})^2 &= r^2\end{align}|

​Créer deux équations en utilisant celle du cercle.

|\begin{align}(\color{green}{6{,}35} - h)^2 + (\color{green}{10{,}92} -\color{blue}{4})^2& = (\color{red}{8{,}35} - h)^2 + (\color{red}{-1{,}98} - \color{blue}{4})^2\\
h^2 - 12{,}7h + 88{,}21&=h^2 -16{,}7h +105{,}46\\
17{,}27& = 4h\\
4{,}32&=h\end{align}|

Comparer les équations et résoudre celle obtenue.

|\begin{align}(\color{green}{x} -h)^2 + (\color{green}{y} -\color{blue}{k})^2 &= r^2\\
(\color{green}{6{,}35} -4{,}32)^2 + (\color{green}{10{,}92} -\color{blue}{4})^2 &= r^2\\
52{,}01& \approx r^2\\
7{,}21& \approx r
\end{align}|

Utiliser un point pour trouver la valeur du rayon.

Puisque le rayon mesure |7{,}21\ \text{km},| alors la superficie du sonar de Gitane est de |\pi \times 7{,}21^2 \approx 163{,}31 \ \text{km}^2.|

​|\begin{align}\text{m}\overline{\color{fuchsia}{F_1} \color{blue}{P}} &= \sqrt{(\color{fuchsia}{1{,}5} - \color{blue}{2{,}01})^2 + (\color{fuchsia}{1{,}2} - \color{blue}{2})^2}\\ &= \sqrt {0{,}9}\\&\approx 0{,}95\\​
\text{m}\overline{\color{red}{F_2} \color{blue}{P}} &= \sqrt{(\color{red}{1{,}5} - \color{blue}{2{,}01})^2 + (\color{red}{4{,}8} - \color{blue}{2})^2}\\
&= \sqrt {8{,}1}\\& \approx 2{,}85\end{align}|

Trouver |\text{m}\overline{\color{fuchsia}{F_1} \color{blue}{P}}| et |\text{m}\overline{\color{red}{F_2} \color{blue}{P}}.|

|2a :| somme de la distance entre les foyers et un point.
​|\begin{align}2a& = 0,95 + 2,85\\2a&= 3,8\\a &= 1,9\\\end{align}|

​Utiliser la définition de l'ellipse pour trouver la mesure de l'axe le plus long.​

​|\begin{align}1 &=\dfrac{(\color{blue}{x}-\color{green}{h})^2}{a^2} + \frac{(\color{blue}{y}-\color{green}{k})^2}{b^2}\\
1& =\dfrac{(\color{blue}{2}-\color{green}{3})^2}{1{,}9^2} + \dfrac{(\color{blue}{2{,}01}-\color{green}{1{,}5})^2}{b^2}\\
1& =\dfrac{1}{3{,}61} + \dfrac{0{,}26}{b^2}\\
0{,}723&=\dfrac{0{,}26}{b^2}\\
b^2 &= \dfrac{0{,}26}{0{,}723}\\
b &= 0{,}6\end{align}|

Remplacer |\color{blue}{(x,y)}| par un point situé sur l'ellipse.

Ainsi, le canoë a les dimensions suivantes.
Longueur maximale : |2a = 2 \times 1{,}9 = 3{,}8\ \text{m}|
Largeur maximale : |2b = 2 \times 0{,}6 = 1{,}2\ \text{m}|

​|\begin{align} d(\color{red}{F}, \color{blue}{S}) &= \color{blue}{y_2} - \color{red}{y_1} \\ &= \color{blue}{2{,}8} - \color{red}{1{,}3} \\ &= \color{green}{1{,}5}\end{align}|

​Calculer la distance entre |\color{red}{F}| et |\color{blue}{S}.|

​|(x-\color{blue}{h})^2 = -4 \color{green}{c} (y-\color{blue}{k})|

Déterminer le modèle adéquat de l'équation de la parabole.

|\begin{align} \color{green}{c} &= \color{blue}{2{,}8} - \color{red}{1{,}3} \\ &= \color{green}{1{,}5} \end{align}|

Calculer la valeur du paramètre |\color{green}{c}.|

​|(x  \color{blue}{+ 3})^2 = -4 \color{green}{(1{,}5)}(y- \color{blue}{2{,}8})|

Remplacer les paramètres par leur valeur respective.

​​Finalement, Gitane peut modéliser cette situation par l'équation ​|(x  \color{blue}{+ 3})^2 = -6(y- \color{blue}{2{,}8}).|

|\begin{align}\text{m}\overline{\color{red}{F_1} P} &= \sqrt{(\color{red}{-8{,}21} - 10{,}63)^2 + (\color{red}{5} - 0)^2}\\​
& = 19{,}49\\​
​​\text{m}\overline{\color{fuchsia}{F_2} P}& = \sqrt{(\color{fuchsia}{16{,}21} - 10{,}63)^2 + (\color{fuchsia}{5} - 0)^2}\\
&= 7{,}49\end{align}|​​

​Calculer |d(\color{red}{F_1},P)| et |d(\color{fuchsia}{F_2}, P).|

​|\begin{align}​2a &=\left \vert \text{m}\overline{\color{red}{F_1}P} - \text{m} \overline{\color{fuchsia}{F_2} P}\right \vert\\
&=\left \vert 19{,}49 - 7{,}49\right \vert\\
&= 12\\
a& = 6\\\\
\Rightarrow a^2 &= 36\end{align}|

​Utiliser la définition pour trouver la mesure de |a.|

​|\begin{align}​\color{blue}{k} &= 5\\\\
\color{blue}{h}& = \dfrac{\color{red}{-8{,}21} +\color{fuchsia}{16{,}21}}{2}\\
& = 4\end{align}|

​Déterminer les coordonnées du sommet |\color{blue}{(h,k)}| selon les propriétés de l'hyperbole.

​|\begin{align}​c &= \color{blue}{4} - \color{red}{(-8{,}21)}\\
c&= 12{,}21
\end{align}|

​Déduire la valeur de |c.|

|​\begin{align}​c^2 &= a^2 + b^2\\
12{,}21^2 &= 6^2 + b^2\\
113 &\approx b^2
\end{align}|

Trouver la valeur de |b^2| en utilisant la relation |c^2 = a^2 + b^2.|

L'équation qui définit l'hyperbole des houles qui vont se rencontrer est |\dfrac{(x-\color{blue}{4})^2}{36} - \dfrac{(y-\color{blue}{5})^2}{113} = 1.|

​|\begin{align} \color{red}{1} &= \color{red}{\dfrac{x^2}{196} + \dfrac{y^2}{25} } \\ \color{blue}{y} &= \color{blue}{\dfrac{2}{5}x - 1} \end{align}​|

​Déterminer les équations de la conique et de la droite.

​​|\color{red}{1 =\dfrac{x^2}{196}} + \dfrac{\left(\color{blue}{\frac{2}{5}x - 1}\right)^2}{\color{red}{25}}|

Substituer le |\color{red}{y}| dans l'équation de l'ellipse par le |\color{blue}{y}| de la fonction linéaire.

​|\begin{align} 1 &= \dfrac{x^2}{196}+\dfrac{0{,}16x^2-0{,}8x+1}{25} \\
4\ 900 &= 25x^2 +31{,}36x^2 - 156{,}8x + 196 \\
0 &= 56{,}36x^2 - 156{,}8x - 4\ 704 \\\\
\Rightarrow \{\color{fuchsia}{x_1}, \color{green}{x_2}\} &= \dfrac{-(-156{,}8)\pm \sqrt{(-156{,}8)^2 - 4 (56{,}36)(-4\ 704)}}{2(56{,}36)} \\
\color{fuchsia}{x_1}  &\color{fuchsia}{\approx}\color{fuchsia}{-7{,}85}\quad \text{et}\quad \color{green}{x_2 \approx 10{,}63} \end{align}|

Résoudre l'équation pour trouver les valeurs de |\color{fuchsia}{x_1}| et |\color{green}{x_2}.|

​|\begin{align} \color{fuchsia}{y_1} &= \color{blue}{\dfrac{2}{5}} \color{fuchsia}{(-7{,}85)} \color{blue}{-1} \\&\approx \color{fuchsia}{-4{,}14} \\\\ \color{green}{y_2} &= \color{blue}{ \dfrac{2}{5}} \color{green}{(10{,}63)} \color{blue}{-1} \\ &\approx \color{green}{3{,}25}\end{align}|​

Calculer les valeurs de |\color{fuchsia}{y_1}| et |\color{green}{y_2}.|

​|\begin{align} d(\color{fuchsia}{A}, \color{green}{B}) &= \sqrt{\big(\color{green}{3{,}25} - \color{fuchsia}{(-4{,}14)}\big)^2 + \big(\color{green}{10{,}63} - \color{fuchsia}{(-7{,}85)}\big)^2} \\ &\approx 19{,}90 \ \text{m} \end{align}|

Calculer la distance entre |\color{fuchsia}{A (-7{,}85 ; -4{,}14)}| et |\color{green}{B(10{,}63 ; 3{,}25)}.|

|\begin{align} \dfrac{5\ \text{m}}{19{,}90\ \text{m}} &= \dfrac{1\ \text{sec}}{?\ \text{sec}} \\\\ \Rightarrow\ ? &= 1 \times 19{,}90 \div 5 \\ &\approx 3{,}98\ \text{sec} \end{align}|

​Déterminer le temps que les requins passent sous le bateau.

​​ ​​Les requins sont restés sous le bateau pendant environ |3{,}98| secondes.

|\begin{align}\dfrac{-17\pi}{4} &+ 2\pi \\= \dfrac{-17\pi}{4} &+ \dfrac{8\pi}{4} = \dfrac{-9\pi}{4}\\\\
\dfrac{-9\pi}{4} &+ 2\pi \\= \dfrac{-9\pi}{4} &+ \dfrac{8\pi}{4} = \dfrac{-\pi}{4}\\\\\dfrac{-\pi}{4} &+ 2\pi \\= \dfrac{-\pi}{4} &+ \dfrac{8\pi}{4} = \dfrac{7\pi}{4}\end{align}|​​

​Additionner ou soustraire un tour |(2\pi)| jusqu'à ce qu'on se retrouve dans l'intervalle |[0, 2\pi].|

| \begin{align}P\left(\dfrac{-17\pi}{4}\right) &= P\left(\dfrac{7\pi}{4}\right) \\&= \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{-\sqrt{2}}{2}\right)\end{align}|

Associer les bonnes coordonnées à l'angle trouvé.

Les coordonnées du point sont |\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{-\sqrt{2}}{2}\right).|